Deux encadrement du nombre e

[Lola]

Bonjour!Je n'arrive pas du tout à résoudre cette exercice

I. f est la fonction définie sur R par f(x)=e^x-(x+1)

1.a. Etudier les variatons de f et en déduire que pour tout x éel 1+x< ou = e^x (1)
b.En remplaçant x par -x dans (1), démontrer que pour tout x réel tel que x<1, on a
e^x<ou=1/(1-x) (2)

2) n est un entier supérieur ou égal à 2.
a.En posant x=1/n démontrer que (1+1/n)^n< ou = e (3)
b. En posant x=1/(n+1), démontrer à partir de (2) que e < ou = (1+(1/n))^(n+1).
Ainsi pour n>ou=2, on a (1+1/n)^n <ou= e <ou= (1+1/n)^(n+1) (4)

II n est un entier supérieur ou égal à 2. g et h sont des fontions définies sur [0;1] par

g(x)=e^(-x)[1+(x/1!)+(x^2/2!)+.....+(x^n/n!)] et
h(x)=g(x)+e^(-x)(x^n/n!)

1.a.Etudier les variations de g et h sur [0;1]

b.En déduire que g(1)<1 et que h(1)>1

2.Démontrer alors que

1+(1/1!)+(1/2!)+......+(1/n!)<e<1+(1/1!)+(1/2)+.....+(1/n!)+(1/n!) (5)

III Utiliser I pour démontrer que pour out n enier supérieur ou égal à 2, on a

e-(3/n)<ou=(1+(1/n))^n<ou= e

En déduire la limite de (1+(1/n)^n quand n tend vers + 00

[SoS-Math(6)]

Bonjour,

vous savez que nous n'allons pas faire l'exercice à votre place.
Ciblez votre question.
Pour la question 1a) il s'agit de calculer la dérivée de f. Je vous rappelle que la dérivée de e^x est e^x et que la dérivée de x+1 est 1.

Si vous voulez davantage d'aide, faites nous part des questions que vous avez déjà traitées et dites nous précisément quels sont vos problèmes.
On pourra ainsi être plus efficace.

[Lola]

OUi je sait que votre but est de nous aider mais j'ai seulement calculée la dérivé, je n'est pas réussi a trouvé son signe et pour x+1<ou=e^ x+1-e^x<ou=0 aprés je ne voit pas comment avançer

[lola]

oui, je sait que votre but est de nous aider; mais j'ai seulement calculée la dérivée et pour x+1<ou=e^x j'ai dit x+1-e^x<ou=0 mais je voit pas comment avançer

[Lola]

Oui, je sait sue vous êtes la pour nous aider, je n'est réussi qu'à calculer la dérivée aprés j'ai fait un calcule mais sa na pas aboutit

[sos-math(13)]

Bonsoir,

Que d'empressement Lola : 3 messages en moins d'une heure...
Je te rappelle que ton message n'est pas directement publié. Il est d'abord lu. Donc il suffit d'attendre : il sera forcément publié (à moins d'être injurieux, déplacé, etc...)


Tu n'arriveras pas à résoudre l'inéquation \({1+x}\leq{e^x}\) algébriquement (c'est à dire par des opérations).

En revanche, tu peux étudier la fonction \(f\) et plus particulièrement son signe. La dériver est un premier pas, il reste à finir le tableau de variations, puis à en déduire le signe de \(f\).

Tu devrais alors pouvoir conclure quant à l'inéquation proposée.

Bon courage.

[lola]

Oui, je n'avais pas compris le systéme, je comprenais pas pourquoi les messages n'apparaissaient pas.
J'ai réussi mais maintenant je suis bloqué a la 2 b.
Je me rend compte que j'ai fait une erreur d'énoncé

En posant x=1/n' démontrer que (1+1/n)^n< ou = e (3)
b. En posant x=1/(n+1'), démontrer à partir de (2) que e < ou = (1+(1/n))^(n+1).
Ainsi pour n>ou=2, on a (1+1/n)^n <ou= e <ou= (1+1/n)^(n+1) (4)
Je sait pas si cela a de l'importance d'ailleurs

[sos-math(13)]

Bonsoir,

Assure toi que pour \(n \geq 2\), on a \(\frac{1}{n+1} \leq 1\), alors l'inégalité (2) s'applique : il suffit de remplacer \(x\) par \(\frac{1}{n+1}\). Il faut alors simplifier l'écriture du deuxième membre, puis pour terminer il faudra élever les deux membres à la puissance \(n+1\).

Bon courage

[lola]

J'ai réussi.Par contre comment doit on partir pour la 1/b et le reste merci

[sos-math(13)]

Bonsoir,

pour la 1b, le départ est indiqué. On ne peut guère en dire plus... sans donner la réponse.

Pour la suite, tente d'abord quelque chose, et on en discute après.

Bon courage.