[TerminaleS][primitive d'une fonction][approfondissement]

[Invité]

bonjour,

voici l'énoncé qu'on me donne:

"soit f une fonction dérivable sur [0;1] telle que f(0) = - 1/2 et f' = -f² sur [0;1]"

on me demande tout d'abord de démontrer que f ne s'annule pas sur [0;1];
puis de démontrer que (1/f)' est constante sur [0;1];
et enfin d'en déduire la fonction f.

je ne sais pas comment commencer, pouvez vous m'aider?

merci.

Aurélie

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
Pour la première question, comme f'=-f², alors f' sera toujours négative, puisque: f² sera toujours positive ( le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul...).
La fonction f sera donc décroissante ( et même strictement décroissante puisque \(f(x)\leq-\frac{1}{2}\) sur [0;1].
Donc f ne s'annule pas sur [0;1].
Pour la suite \(\left(\frac{1}{f}\right)'=\frac{-f'}{f^2}\)...
A vous de chercher un petit peu.
Bon courage.

[Invité]

merci beaucoup pour votre aide, mais je n'ai pas compris coment vous avez eu ce résultat: (1/f)' = -f'/f², pouvez vous m'expliquer?

merci.

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
le résultat
\(\left(\frac{1}{f}\right)'=\frac{-f'}{f^2}\), correspond à une formule de dérivation classique que l'on trouve dans tous les livres et certainement aussi dans votre cours.
Elle n'est valable que si f ne s'annule pas, ce qui a été démontrée à la question 1.
On peut utiliser aussi celle-ci:
\(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
En prennant u=1 et v=f, dans ce cas u'=0 et v'=f'.
Bon courage pour la suite.