Congruences en maths expertes

[Cyprien]

Bonjour,
Si vous voulez bien me donner votre méthode pour résoudre cet exercice sur les congruences, je suis preneur.

"La multiplication suivante a deux trous :
9a2984776 * 107a976236 = 978697983701783136
Trouver rapidement le chiffre a pour que la multiplication soit juste."

En testant, je trouve que a = 1 et le produit est alors correct mais je souhaiterais une résolution avec les congruences. Je n'ai pas trouvé pour l'instant.
Merci,
Cyprien

[sos-math(21)]

Bonjour,
la question portant sur les chiffres d'un entier, on peut penser à un critère qui utilise les chiffres d'un entier : la preuve par 3.
Si ton égalité est vraie dans les entiers naturels, alors elle reste vraie modulo 3 (attention la réciproque n'est pas vraie !)
Or dans la congruence modulo 3, un entier est congru à la somme de ses chiffres, ce qui signifie que l'on aura :
\(9a2984776\equiv 9+a+\ldots+6\equiv a+52\equiv a+ 1 \,[3]\)
\(107a976236\equiv 1+0+7+a+\ldots+6\equiv a+41\equiv a+ 2\,[3]\)
et \(978697983701783136\equiv 9+7+\ldots+3+6\equiv 102\equiv 0\,[3]\)
Donc on l'égalité initiale donne l'égalité \((a+1)(a+2)\equiv 0\,[3]\).
Ce qui entraine que \(a+1\equiv 0 \,[3]\) ou bien \(a+2\equiv 0 \,[3]\) donc soit \(a=2\), soit \(a=1\).
Note bien que l'on n'a pas des équivalences donc on a juste obtenu des conditions nécessaires sur \(a\). Il faut ensuite voir si les candidats \(a=1\) ou \(a=2\) fonctionnent. En testant, on se rend compte que seulement \(a=1\) rend l'égalité vraie dans les entiers naturels.
Bonne continuation

[Cyprien]

Bonjour,
Je vous remercie pour votre réponse que je comprends bien.
En m'appuyant sur votre méthode, je viens de faire un raisonnement analogue en modulo 9 car, comme pour modulo 3, on calcul la somme des chiffres pour étudier la divisibilité. J'obtiens l'équation (a+7)(a+5)=3[9]. Je dois alors tester toutes les valeurs de a comprises entre 0 et 8 ce qui est assez long. Pour a = 1 et a = 5 cela fonctionne.
Par contre, pour vérifier si mes deux candidats fonctionnent, ma calculatrice CASIO n'est pas suffisante car elle donne le résultat en notation scientifique en arrondissant le produit. J'utilise donc une autre calculatrice (celle de WIMS).
Merci beaucoup et bon week-end,
Cyprien

[sos-math(21)]

Bonjour,
modulo 9, c'est encore valable mais moins intéressant car le produit n'est pas nul, ce qui peut mener à plusieurs possibilité pour \(a\).
D'une manière générale, la congruence est une bonne méthode mais dans ce cas-là, sachant qu'il y a 10 possibilités seulement pour \(a\), un test exhaustif aurait pu suffire (avec une bonne calculatrice ou avec Python) :

Code : Tout sélectionner

for a in range(10):
    num1 = 9*10**8 + a*10**7  + 2984776
    num2 = 107*10**7 + a*10**6 + 976236
    produit = num1 * num2
    if produit == 978697983701783136:
        print(a)

Et on obtient bien 1.
Bonne continuation