Exercice

[Pierre]

Bonjour, dans un DM on doit construire \(\mathbb{C}\) par approche matriciel en définissant \(\[

f\colon\begin{aligned}[t]
\mathbf{M}&\longrightarrow \mathbb{C}\\
M_{a,b}&\longmapsto a+bi
\end{aligned}
\]
\), où \(M_{a,b} = \begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}\), et \(\mathbf{M}\) est l'ensemble des matrices \(M_{a,b}\). Il est demandé de montrer que \(f\) est une bijection. Pouvez-vous me dire si mes justifications sont correctes ?

Surjectivité : On pose \(I_{2} := \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\) et \(J := \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\). Dès lors on peut récupérer l'ensemble des matrices dans \(\mathbf{M}\) par \(M_{a,b} = aI_{2} + bJ\), par \(f\) on peut écrire : \( f(M_{a,b}) = f(aI_{2}+bJ) = f(aI_{2}) + f(bJ) = a+bi = z \in \mathbb{C} \) (on a déjà montré l'additivité de \(f\))

Injectivité :

\(

\begin{alignedat}{3}
\forall M,M' \in \mathbf{M},f(M_{a,b}) = f(M'_{a',b'}) \implies a+bi = a'+b'i\\
\implies \left \{
\begin{array}{rcl}
a&=&a' \\
b&=&b'
\end{array}
\right.\\
\implies M_{a,b} = M'_{a',b'}\\
\end{alignedat}


\)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pierre,

cela me semble correct.

SoSMath.