Bonjour,
J'ai un exo que je comprends pas, le voici :
Il a été démontré que pour tout n non nul, (1+1/n)^n ≤ e ≤ (1+1/n)^(n+1) (inégalité A).
En déduire lim n=> inf de (1+1/n)^n.
Ce que j'ai fait :
En divisant par 1+1/n l'inégalité A, on obtient l'inégalité :
1+1/n ≤ e / (1+1/n)^n ≤ (1+1/n). (c'est correct ?)
Donc par théorème d'encadrement : lim n => inf de e / (1+1/n)^n = 1.
Jusqu'à présent tout est correct ou pas ?
Comment en déduire lim n=> inf de (1+1/n)^n ?
Merci bien !
Maths ; limite
-
Louise
-
sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Maths ; limite
Bonjour,
si tu divises l'encadrement par \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\neq 0\), tu as :
\(1\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}\)
Et ensuite, tu passes à la limite dans chaque membre en utilisant le théorème des gendarmes.
Reprends ta division et cela devrait être bon.
Bonne continuation
si tu divises l'encadrement par \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\neq 0\), tu as :
\(1\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}\)
Et ensuite, tu passes à la limite dans chaque membre en utilisant le théorème des gendarmes.
Reprends ta division et cela devrait être bon.
Bonne continuation
-
Idem
Re: Maths ; limite
Merci de la réponse.
Je comprends comment vous obtenez l'inégalité.
Par contre comment utiliser le théorème des gendarmes pour obtenir lim n=> inf de (1+1/n)^n ?
Ça je comprends pas....
Merci bien.
Je comprends comment vous obtenez l'inégalité.
Par contre comment utiliser le théorème des gendarmes pour obtenir lim n=> inf de (1+1/n)^n ?
Ça je comprends pas....
Merci bien.
-
sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Maths ; limite
Bonjour,
en passant aux limites, tu as \(\lim_{n\to +\infty} 1=\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac{1}{n}=1\)
Donc par application du théorème des gendarmes à l'inégalité : \(1\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}\), tu obtiens que la suite \((u_n)_{\geqslant 1}\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(u_n= \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\) est convergente et converge vers 1.
Par suite, tu en déduis, par composition des limites, que la suite \(v_n\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(v_n=\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) est convergente et sa limite vaut \(\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\dfrac{\mathrm{e}}{\lim_{n\to+\infty}u_n}=\mathrm{e}\).
Est-ce plus clair ?
en passant aux limites, tu as \(\lim_{n\to +\infty} 1=\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac{1}{n}=1\)
Donc par application du théorème des gendarmes à l'inégalité : \(1\leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\leqslant 1+\dfrac{1}{n}\), tu obtiens que la suite \((u_n)_{\geqslant 1}\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(u_n= \dfrac{\mathrm{e}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}\) est convergente et converge vers 1.
Par suite, tu en déduis, par composition des limites, que la suite \(v_n\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) par \(v_n=\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) est convergente et sa limite vaut \(\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}}{u_n}=\dfrac{\mathrm{e}}{\lim_{n\to+\infty}u_n}=\mathrm{e}\).
Est-ce plus clair ?