exercice suite numérique
Posté : jeu. 25 janv. 2024 19:09
bonsoir j'ai un exercice de suite que n'arrive pas à comprendre certaines parties.
soit une suite de terme générale Un , n appartient N* définie par U1=1/2 et Un=(n+1)Un/2n
1) calculer U2, U3 et U4
2) démontre que par récurrence que pour tout entier naturel non nul , 0<Un+1<Un
réponse
1) ona U2=1/2 , U3=1/4 et U4= 1/8
2) soit la proposition (Pn): 0<Un+1<Un
vérifions que U1 est vraie
on a 0<1/2<1/2
donc U1 est vraie
supposons que Pn+1 est vraie c'est à dire
0<Un+2<Un+1 ona Un+2=(n+2)Un+1/2n+2
en partant de l'hypothèse de récurrence on
0<Un+1<Un
comme n+2>0 en multipliant par n+2 l'inégalité ne va pas changer on aura donc
0<(n+2)Un+1<(n+2)Un ensuite je vais multiplier par 1/2n+2 on a
0<(n+2)Un+1/(2n+2)<(n+2)Un/(2n+2)
ce qui donnera 0<Un+2<(n+2)Un/(2n+2)
maintenant arrivée ici je ne trouve l'expression de Un dans l'inégalité qui est à droite et j'aimerais avoir votre aide.
soit une suite de terme générale Un , n appartient N* définie par U1=1/2 et Un=(n+1)Un/2n
1) calculer U2, U3 et U4
2) démontre que par récurrence que pour tout entier naturel non nul , 0<Un+1<Un
réponse
1) ona U2=1/2 , U3=1/4 et U4= 1/8
2) soit la proposition (Pn): 0<Un+1<Un
vérifions que U1 est vraie
on a 0<1/2<1/2
donc U1 est vraie
supposons que Pn+1 est vraie c'est à dire
0<Un+2<Un+1 ona Un+2=(n+2)Un+1/2n+2
en partant de l'hypothèse de récurrence on
0<Un+1<Un
comme n+2>0 en multipliant par n+2 l'inégalité ne va pas changer on aura donc
0<(n+2)Un+1<(n+2)Un ensuite je vais multiplier par 1/2n+2 on a
0<(n+2)Un+1/(2n+2)<(n+2)Un/(2n+2)
ce qui donnera 0<Un+2<(n+2)Un/(2n+2)
maintenant arrivée ici je ne trouve l'expression de Un dans l'inégalité qui est à droite et j'aimerais avoir votre aide.