bonsoir j'ai un exercice de suite que n'arrive pas à comprendre certaines parties.
soit une suite de terme générale Un , n appartient N* définie par U1=1/2 et Un=(n+1)Un/2n
1) calculer U2, U3 et U4
2) démontre que par récurrence que pour tout entier naturel non nul , 0<Un+1<Un
réponse
1) ona U2=1/2 , U3=1/4 et U4= 1/8
2) soit la proposition (Pn): 0<Un+1<Un
vérifions que U1 est vraie
on a 0<1/2<1/2
donc U1 est vraie
supposons que Pn+1 est vraie c'est à dire
0<Un+2<Un+1 ona Un+2=(n+2)Un+1/2n+2
en partant de l'hypothèse de récurrence on
0<Un+1<Un
comme n+2>0 en multipliant par n+2 l'inégalité ne va pas changer on aura donc
0<(n+2)Un+1<(n+2)Un ensuite je vais multiplier par 1/2n+2 on a
0<(n+2)Un+1/(2n+2)<(n+2)Un/(2n+2)
ce qui donnera 0<Un+2<(n+2)Un/(2n+2)
maintenant arrivée ici je ne trouve l'expression de Un dans l'inégalité qui est à droite et j'aimerais avoir votre aide.
exercice suite numérique
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sos-math(21)
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Re: exercice suite numérique
Bonjour,
Ta suite est bien définie par récurrence pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \(U_{n+1}=\dfrac{(n+1)U_n}{2n}\) ?
Pour ta récurrence je ne comprends pas pourquoi tu supposes que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie car c'est ce que tu veux montrer.
Il faudrait plutôt partir de l'hypothèse que \(\mathcal{P}_n\) est vraie, c'est-à-dire que \(0<U_{n+1}<U_n\) et montrer la même inégalité au rang \(n+1\).
D'après l'hypothèse de récurrence, \(U_{n+1}>0\) et \(U_{n+2}=\dfrac{(n+2)U_{n+1}}{2(n+1)}\) comme produit et quotient de nombres strictement positifs est un nombre positif.
Ensuite, pour l'ordre sur les deux termes consécutifs, je te conseille de former la différence \(U_{n+2}-U_{n+1}\) et de déterminer son signe.
Bonne continuation
Ta suite est bien définie par récurrence pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \(U_{n+1}=\dfrac{(n+1)U_n}{2n}\) ?
Pour ta récurrence je ne comprends pas pourquoi tu supposes que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie car c'est ce que tu veux montrer.
Il faudrait plutôt partir de l'hypothèse que \(\mathcal{P}_n\) est vraie, c'est-à-dire que \(0<U_{n+1}<U_n\) et montrer la même inégalité au rang \(n+1\).
D'après l'hypothèse de récurrence, \(U_{n+1}>0\) et \(U_{n+2}=\dfrac{(n+2)U_{n+1}}{2(n+1)}\) comme produit et quotient de nombres strictement positifs est un nombre positif.
Ensuite, pour l'ordre sur les deux termes consécutifs, je te conseille de former la différence \(U_{n+2}-U_{n+1}\) et de déterminer son signe.
Bonne continuation