suite numérique

[jean]

bonsoir j'ai un exercice que je n'arrive pas à comprendre.
pour tout n entier naturel non nul on considère la fonction numérique fn défini sur [0,1] par fn(x)=x^n-(1-x)² (le n est en exposant ).
1) dans cette question l'entier n est fixé
a) la fonction fn est elle strictement monotone ?
b) montre qu'il existe un unique alpha de n appartenant à]0;1[ tel que fn(alpha de n)= 0
c) quell est le signe de fn+1(alpha de n)
2) on considère la suite de terme générale alpha de n tel que n supérieur où égal à 1
a) montre à l'aide de la question précédente que la suite alpha de n est croissante.
pour la question 1 a) j'ai essayé de faire la dérivé de la fonction et j'ai trouvé f'n(x)=n+2(1-x)
maintenant pour la question b j'ai voulu utiliser le théorème des valeurs intermédiaire mais comme la fonction est en fonction de n je n'arrive pas à faire.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux commencer par tester avec des valeurs données de \(n\) en traçant les courbes des fonctions à la calculatrice:
\(f_1(x)=x-(1-x)^2=-x^2+3x-1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
\(f_2(x)=x^2-(1-x)^2=2x-1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
\(f_3(x)=x^3-(1-x)^2=x^3 - x^2 + 2x - 1\) : cette fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\)
...

Maintenant que l'on est convaincu de cette monotonie, il s'agit de le démontrer.
Le calcul de la dérivée est une bonne idée mais il faut déjà le faire correctement : \(f_n'(x)=nx^{n-1}-2x+2\)
On ne connait pas la valeur de \(n\) donc il va être difficile d'établir le signe de cette dérivée de manière générale.
Il faut envisager autre chose : tu peux considérer que \(f_n\) est la somme de deux fonctions : \(g_n\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(g_n(x)=x^n\) et \(h\) définie sur \([0\,;\,1]\) par \(h(x)=-x^2+2x-1\). Essaie de déterminer le sens de variation de ces deux fonctions et conclus avec la propriété d'une somme de fonctions croissantes.
Pour la suite, ta fonction \(f_n\) est continue (à justifier), strictement croissante (il faut que tu le démontres) et \(f_n(0)=\ldots\) et \(f_n(1)=\ldots\) donc tu pourras appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Bonne continuation

[jean]

bonsoir. pour la question j'ai calculé la dérivé et gn(x) et j'ai trouvé g'n(x)=nx^n-1 comme n>1 alors g'n(x)>0 d'où la fonction gn(x) est strictement croissante pour la deuxième fonction h(x) j'ai trouvé la dérivé égal à h'(x)=-2x+2 Donc pour x appartient à [0;1] h'(x)<0 donc h est strictement décroissante. ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
sur l'intervalle \([0\,;\,1]\), la fonction \(h'\) est positive : \(-2x+2<0\Longleftrightarrow -2x<-2\Longleftrightarrow x>\dfrac{-2}{-2}\Longleftrightarrow x>1\)
Reprends cela.
Bonne continuation

[jean p]

ah oui je vois maintenant donc par somme de fonction croissante la fonction fn(x) est croissante. par suite
la fonction fn(x) est continue sur [0;1] car c'est une fonction polynôme et fn(0)=-1 et fn(1)=1 or 0 appartient à
[-1;1] donc il existe un unique alpha de n tel que fn(alpha de n) =0

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela et ton application du TVI est correcte.
Je te fais juste une remarque sur ta rédaction : quand on parle d'une fonction on ne met pas de \(x\) : on dit la fonction \(f_n\), la dérive \(h'\).... Dès qu'on met un \(x\), cela ne désigne plus la fonction mais l'image de \(x\) par cette fonction, donc cela désigne un nombre : \(f_n(x)\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f_n\).
Bonne poursuite d'exercice.

[jean]

d'accord merci pour votre remarque maintenant pour le signe de la fonction fn+1(alpha de n) je vais prendre la fonction fn et remplacer tous les n par n+1 et ensuite étudier son signe ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
cette partie est un peu plus délicate : tu as l'égalité \(f_n(\alpha_n)=0\) par définition de \(\alpha_n\).
Écris cette égalité pour obtenir une expression de \(\alpha_n^n\), de la forme \(\alpha_n^n=\ldots\), que tu remplaceras dans \(f_{n+1}(\alpha_n)=\alpha_n^{n+1}-(1-\alpha_n)^2=\boxed{\alpha_n^n}\times \alpha_n-(1-\alpha_n)^2\).
Je te laisse un peu chercher.

[jean]

donc si s'applique ça j'aurai
alpha de n^n=(1-alpha de n)²

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela, \(\alpha_n^n=(1-\alpha_n)^2\).
Bonne continuation

[jean]

maintenant pour étudier le signe de fn+1(alpha de n).
on a fn+1(alpha de n)=alpha de n^n×alpha de n -(1- alpha de n)² donc on aura fn+1(alpha de n)=alpha de n^n(alpha de -1) ?

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Oui c'est cela et comme αn est compris entre 0 et 1 strictement, cela te donne le signe de αn -1 et donc du produit.

Tu peux désormais continuer sur la question 2.

Sos math.

[jean]

bonsoir
donc le signe va être négatif

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est cela, on a bien : \(f_{n+1}(\alpha_n)<0\) donc comme par définition \(f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0\) et que la fonction \(f_{n+1}\) est strictement croissante, tu en déduiras l'ordre entre \(\alpha_n\) et \(\alpha_{n+1}\) et par la suite, le sens de variation de la suite \((\alpha_n)\).
Bonne continuation

[jean]

cette dernière partie là je n'arrive pas à comprendre