application linéaire et base

[Terry]

Bonjour j'ai voulu faire cet exercice mais je voulais savoir si mes réponses sont bonnes svp?

Soit $p$ l'application définie par :
$$
\left\{\begin{aligned}
\(\mathbb{R}^2 & \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
\)(x, y) & \mapsto(4 x-6 y, 2 x-3 y)
\end{aligned}\right.
$$
a) Montrer que $p$ est linéaire.
b) Déterminer une base de \(\operatorname{Ker}(p)\) et de \(\operatorname{Im}(p).\)
****
Réponses:

a) Pour montrer que l'application $p$ est linéaire, vérifions les deux propriétés suivantes :

1. L'additivité : \(p(u + v) = p(u) + p(v)\) pour tous u, v dans \(\mathbb{R}^2\).

2. La homogénéité : \(p(\alpha u) = \alpha p(u)\) pour tout u dans \(\mathbb{R}^2\) et tout scalaire \( \alpha.\)

Vérifions ces propriétés pour p :

Soit \( u = (x_1, y_1)\) et \(v = (x_2, y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\)
\[
\begin{align*}
p(u) &= (4x_1 - 6y_1, 2x_1 - 3y_1) \\
p(v) &= (4x_2 - 6y_2, 2x_2 - 3y_2) \\
p(u + v) &= p(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (4(x_1 + x_2) - 6(y_1 + y_2), 2(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2)) \\
p(u) + p(v) &= (4x_1 - 6y_1, 2x_1 - 3y_1) + (4x_2 - 6y_2, 2x_2 - 3y_2) = (4x_1 + 4x_2 - 6y_1 - 6y_2, 2x_1 + 2x_2 - 3y_1 - 3y_2)
\end{align*}
\]

On constate que $p(u + v) = p(u) + p(v)$, ce qui prouve l'additivité.

Pour la homogénéité, soit $\alpha$ un scalaire.
\[
\begin{align*}
p(\alpha u) &= p(\alpha x, \alpha y) = (4(\alpha x) - 6(\alpha y), 2(\alpha x) - 3(\alpha y)) \\
&= \alpha(4x - 6y, 2x - 3y) = \alpha p(u)
\end{align*}
\]

Cela confirme la homogénéité, donc $p$ est linéaire.

b) Pour déterminer une base du noyau $\operatorname{Ker}(p)$, il faut résoudre $p(x, y) = (0, 0)$. En d'autres termes, trouver tous les $x$ et $y$ tels que $p(x, y) = (4x - 6y, 2x - 3y) = (0, 0)$.

Pour déterminer une base de l'image $\operatorname{Im}(p)$, on peut calculer l'image de la base canonique de \(\mathbb{R}^2 \) par p. Par exemple, pour \( e_1 = (1, 0)\) et \($e_2 = (0, 1)\) , on obtient \( p(e_1) = (4, 2) et $p(e_2) = (-6, -3).\)

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la linéarité c'est bon, cela correspond bien à la démarche habituelle.
Pour le noyau et l'image, il faut effectivement résoudre \(f(x,y)=(0,0)\) et chercher des conditions sur \(x\) et \(y\).
Si tu regardes bien tu verras que cela mène à un noyau de dimension 1, puis par le théorème du rang, tu auras aussi l'image de dimension 1.
Il te reste à déterminer des vecteurs directeurs de ces deux droites vectorielles.
Bonne continuation