suite et récurrence

[mat]

Bonjour voici un deuxième exercice sur les suites qui me bloque.
voici l'énoncé:
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de ce médicament dans le sang diminue avec le temps.
Une machine est programmée de telle façon que:
à l'instant t=0 (en heure), elle injecte 10 mL de médicament; on admet que l'effet est instantané;
chaque heure suivante, elle injecte 1 ml de médicament.
On estime que 20% de la quantité de médicament présente dans le sang est éliminée chaque heure.
a) Pour tout entier naturel n, on note q_{n} la quantité de médicament (en mL) présente dans le sang du patient au bout de n heures.
Justifier que pour tout entier naturel n: q_{n+1}=0,8q_{n}+1
b) Déterminer une suite constante (u_{n}) qui vérifie la relation:
pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0,8u_{n}+1

j'ai testé la récurrence pour la question a mais ca n'a pas été concluant. je ne sais pas si c'est la bonne technique et si je m'y suis bien pris. pour la seconde j'ai calculer les premier termes mais je n'arrive pas à conjecturer une formule explicite que je pourrait ensuite prouver par récurence.

pourriez vous m'aider s'il vous plait?

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour établir la relation de récurrence, il suffit de traduire les données de l'énoncé : on part de la quantité restante (en mL) \(q_n\) au bout de \(n\) heure(s).
Pendant l'heure suivante (entre la fin de l'heure \(n\) et la fin de l'heure \(n+1\)), 20% de cette quantité a été éliminée donc la quantité \(q_n\) a été multipliée par \(0{,}8\) soit \(0{,}8q_n\).
Mais, à la fin de cette heure, il a été rajouté 1 mL donc il y a \(0{,}8q_n+1\) mL de médicament au bout de \(n+1\) heure(s).
D'où la relation de récurrence attendue \(q_{n+1}=0{,}8q_n+1\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

[mat]

merci c'est clair. comment obtiens ton alors une formule explicite de cette suite?

[sos-math(21)]

Bonjour,
avec la question suivante, tu as dû obtenir une suite constante \(v_n=\alpha\) qui vérifie la relation de récurrence.
Alors, il faudra montrer que la suite définie par \(w_n=q_n-\alpha\) est une suite géométrique de raison \(0{,}8\) : tu obtiendras alors une expression explicite de \(w_n\) et tu en déduiras une formule explicite pour \(q_n\).
Bonne continuation

[mat]

merci beaucoup à bientot