caractérisation du PGCD

[Cédric]

Bonjour,
dans le manuel suivant :
https://mesmanuels.fr/acces-libre/4605772
à la page 140, le théorème de Bézout généralisé est indiqué comme suit :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
PGCD(a,b)=d si et seulement si d divise a et b et s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv =d.
A la page 144, j'ai essayé de faire la démonstration.
Ok pour l'implication directe : PGCD(a,b)=d => d divise a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv =d.

Mais je pense qu'il y a un problème pour la réciproque.
En effet, contre-exemple :
d=-3 avec a=21 et b=15 et ainsi -3 = 2*21 +15*(-3) et pourtant -3 n'est pas le PGCD de a et b.

Je pense que l'équivalence est vraie avec la condition supplémentaire d>0.

Pourriez-vous confirmer ?

EH

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Ton contre-exemple est pertinent.

Je confirme que pour la réciproque, d doit appartenir à l'ensemble des entiers naturels. Donc l'équivalence est vraie à la même condition.

Bonne continuation et à bientôt sur le forum.

Sos math.