Trigonométrie , encadrement d'un angle

[Paul]

Bonjour j'envoi cet exercice car je dois préparer un oral en maths (je suis en M1 enseignement).

Quelqu'un pourra-t-il le corrigé svp?

La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre \(A\) et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle
\(\widehat{B A C}\)dans l'intervalle\(] 0 ; \pi] .\)

Déterminer un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) d'une mesure de l'angle \(\widehat{B A C}\) pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
Réponses de deux élèves de classe de terminale spécialité mathématiques
[bleu]Élève 1[/bleu]
J'ai posé \(\widehat{B A C}=\alpha\) donc l'aire de \(A B C=\frac{B \times h}{2}=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right).\)

L'aire du secteur hachuré est égale à l'aire de la portion de disque privé de l'aìre du triangle ABC.
Je résous l'équation

\(\frac{\alpha}{2}-\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\)

Je pose \(f(\alpha)=2 \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}\)

Avec ma calculatrice graphique, je trouve une solution entre \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\)

Jai écrit un programme en langage python.
Il retourne

\(a=3,14082566319585\)
et \(b=3,14159265358979\)
[vert]programme : [/vert]
from math import sin, cos, pi
\(def\) \(f(x)\) :
return \(2 * \sin (x / 2) * \cos (x / 2)-x / 2\)
def dicho():
\(a=p i / 2\)
\(b=p i\)
while \(b-a>=0.001\) :
\(m=(a+b) / 2\)
if\(f(m)<0\) :
\(a=m\)
else
\(b = m\)
return \(a, b\)

[bleu]Élève 2 [/bleu]J'ai posé\(x=\frac{\widehat{B A C}}{2}\) donc l'aire de \(A B C\) est \(\sin (x) \cos (x)\)et l'aire du secteur hachuré \(x-\sin (x) \cos (x)\)
Je résous l'équation \(x-2 \sin (x) \cos (x)=0\)
J'étudie la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-2 \sin (x) \cos (x)=x-\sin (2 x)\) donc \(f^{\prime}(x)=1-\cos (2 x).\)
Comme la dérivée est positive, \(f\) est strictement croissante.
D'après le théorème de bijection il y a une unique solution.

Le travail à exposer
1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.

2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.
Voici ce que je propose comme correction :
En m'aidant de ce site, j'ai compris que l'angle BAC = alpha (que j'appel k pour écrire facilement).
du coup on doit avoir 1/2.R²sink=1/2.R²(k-sink).
d'où sink= k -sink, ce qui implique k= 2sink (alpha= 2sin alpha).


Voici ce que je pense des réponses des élèves:
Donc pour l'élève 1 l'aire du triangle est ok mais l'aire du secteur angulaire est fausse puisque c'est alpha/2 si alpha correspond à l'angle BAC
Or il a posé alpha=BAC/2
Pour l'élève 2 le problème est sur la dérivée
Sinon pour l'équation f(x)=0
L'élève 2 à la même chose que vous puisque c'est x-sin(2x) avec x=alpha/2
Donc alpha=2x
Pour l'élève 1 le problème vient de l'aire du secteur angulaire qui n'est donc pas alpha mais alpha/2 avec alpha =BAC/2 soit BAC=2alpha
Donc l'aire du secteur angulaire est 2alpha/2=alpha
Or il a écrit alpha/2.
Et voici mes réponses :Pour résoudre cet exercice, nous pouvons suivre les étapes suivantes :

Calculer les aires des régions ombrées et rayées en fonction de l'angle BAC (α).
L'aire de la région ombrée est égale à l'aire d'un secteur d'un cercle de rayon 1 et d'angle central α, moins l'aire d'un triangle de base 2Rsin(α) et de hauteur R(1 - sin(α)). L'aire de la région rayée est égale à l'aire d'un rectangle de base 2Rsin(α) et de hauteur R.

Fixez les deux surfaces égales l'une à l'autre et résolvez pour α.
πR²α/2 - R²sin(α)(1 - sin(α)) = R²*2Rsin(α)
En simplifiant l'équation, on obtient :

α - sin(α) + sin²(α) = 2
Cette équation n'est pas facile à résoudre analytiquement, nous pouvons donc utiliser des méthodes numériques pour trouver une solution approximative.

Utilisez des méthodes numériques pour trouver une solution approximative pour α.
Nous pouvons utiliser un code Python fourni dans l'exercice pour trouver une enceinte d'une amplitude de 10-³ pour la mesure de l'angle BAC pour laquelle l'aire de la région ombrée est égale à l'aire de la région rayée.

Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x) :
return np.sin(x) / x

# Intervalle pour alpha
print("Intervalle [0, pi]")
lower_bound = float(input("Enter the lower bound : "))
upper_bound = float(input("Enter the upper bound : "))

si borne_inférieure <= 0 :
lower_bound = 0.1

# Tracé des fonctions
x_values = np.linspace(lower_bound, upper_bound, 1000)
y_values_f = f(x_values)

constant_function = np.full_like(x_values, 1/2)

min_val = 10
pour x dans x_values :
a = abs(f(x)-1/2)
si a < min_val :
min_val = a
min_x = x

print("Valeur d'alpha :", min_x, "f(alpha) :", f(min_x))

plt.plot(x_values, y_values_f)
plt.plot(x_values, constant_function, linestyle='--')

plt.title('Graphique des fonctions')
plt.xlabel("alpha")
plt.ylabel('alpha/sin(alpha)')
plt.grid(True)
plt.show()

Sortie :

Intervalle [0, pi]
Entrez la limite inférieure : 0.1
Entrez la limite supérieure : 1.5

Valeur de alpha : 0.7853969419022149 f(alpha) : 0.5
Par conséquent, une enceinte d'une amplitude de 10-³ pour la mesure de l'angle BAC pour laquelle la surface de la région ombrée est égale à la surface de la région rayée est :

α ≈ 0.785 ± 10-³
Cela signifie que l'aire de la région ombrée est égale à l'aire de la région rayée pour des valeurs de α dans l'intervalle [0.7853968419022139, 0.7853970419022159].

[Jean-jacques]

Bonjour j'envoi cet exercice particulier car je dois préparer un oral et à vrai dire et honnêtement j'ai rien compris dans cet exo.

Quelqu'un pourra-t-il le corrigé svp? (et/ou donner son avis sur les productions d'élèves svp)

La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre \(A\) et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle
\(\widehat{B A C}\)dans l'intervalle\(] 0 ; \pi] .\)

Déterminer un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) d'une mesure de l'angle \(\widehat{B A C}\) pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
Réponses de deux élèves de classe de terminale spécialité mathématiques
[bleu]Élève 1[/bleu]
J'ai posé \(\widehat{B A C}=\alpha\) donc l'aire de \(A B C=\frac{B \times h}{2}=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right).\)

L'aire du secteur hachuré est égale à l'aire de la portion de disque privé de l'aìre du triangle ABC.
Je résous l'équation

\(\frac{\alpha}{2}-\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\)

Je pose \(f(\alpha)=2 \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}\)

Avec ma calculatrice graphique, je trouve une solution entre \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\)

Jai écrit un programme en langage python.
Il retourne

\(a=3,14082566319585\)
et \(b=3,14159265358979\)
[vert]programme : [/vert]
from math import sin, cos, pi
\(def\) \(f(x)\) :
return \(2 * \sin (x / 2) * \cos (x / 2)-x / 2\)
def dicho():
\(a=p i / 2\)
\(b=p i\)
while \(b-a>=0.001\) :
\(m=(a+b) / 2\)
if\(f(m)<0\) :
\(a=m\)
else
\(b = m\)
return \(a, b\)

[bleu]Élève 2 [/bleu]J'ai posé\(x=\frac{\widehat{B A C}}{2}\) donc l'aire de \(A B C\) est \(\sin (x) \cos (x)\)et l'aire du secteur hachuré \(x-\sin (x) \cos (x)\)
Je résous l'équation \(x-2 \sin (x) \cos (x)=0\)
J'étudie la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-2 \sin (x) \cos (x)=x-\sin (2 x)\) donc \(f^{\prime}(x)=1-\cos (2 x).\)
Comme la dérivée est positive, \(f\) est strictement croissante.
D'après le théorème de bijection il y a une unique solution.

Le travail à exposer
1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.

2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.
Je n'ai pas encore donner mon avis sur la productions des élèves pour ne pas rallonger trop ce sujet, mais voici mon programme pour trouver les solutions de ce problèmes :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return np.sin(x) / x



#intervalle de alpha
print("interval [0, pi]")
borne_inf = float(input("entrez la borne inférieure:"))
borne_sup = float(input("entrez la borne supérieure:"))

if borne_inf<=0:
borne_inf=0.1

# Tracer les fonctions
x_values = np.linspace(borne_inf, borne_sup, 1000)
y_values_f = f(x_values)

fonction_constante = np.full_like(x_values, 1/2)

min = 10
for x in x_values:
a = abs(f(x)-1/2)
if a < min:
min = a
minx = x


print("valeur de alpha:", minx, "f(alpha)", f(minx))

plt.plot(x_values, y_values_f)
plt.plot(x_values, fonction_constante, linestyle='--')

plt.title('Graphique des fonctions')
plt.xlabel("alpha")
plt.ylabel('alpha/sin(alpha)')
plt.grid(True)
plt.show()

[Jean-jacques]

Bonjour je renvoi cet exercice (car j'ai oublié l'image), en fait je dois préparer un oral et à vrai dire et honnêtement j'ai rien compris dans cet exo.

Quelqu'un pourra-t-il le corrigé svp?

La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre \(A\) et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle
\(\widehat{B A C}\)dans l'intervalle\(] 0 ; \pi] .\)

Déterminer un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) d'une mesure de l'angle \(\widehat{B A C}\) pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
Réponses de deux élèves de classe de terminale spécialité mathématiques
[bleu]Élève 1[/bleu]
J'ai posé \(\widehat{B A C}=\alpha\) donc l'aire de \(A B C=\frac{B \times h}{2}=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right).\)

L'aire du secteur hachuré est égale à l'aire de la portion de disque privé de l'aìre du triangle ABC.
Je résous l'équation

\(\frac{\alpha}{2}-\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\)

Je pose \(f(\alpha)=2 \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{2}\)

Avec ma calculatrice graphique, je trouve une solution entre \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\)

Jai écrit un programme en langage python.
Il retourne

\(a=3,14082566319585\)
et \(b=3,14159265358979\)
[vert]programme : [/vert]
from math import sin, cos, pi
\(def\) \(f(x)\) :
return \(2 * \sin (x / 2) * \cos (x / 2)-x / 2\)
def dicho():
\(a=p i / 2\)
\(b=p i\)
while \(b-a>=0.001\) :
\(m=(a+b) / 2\)
if\(f(m)<0\) :
\(a=m\)
else
\(b = m\)
return \(a, b\)

[bleu]Élève 2 [/bleu]J'ai posé\(x=\frac{\widehat{B A C}}{2}\) donc l'aire de \(A B C\) est \(\sin (x) \cos (x)\)et l'aire du secteur hachuré \(x-\sin (x) \cos (x)\)
Je résous l'équation \(x-2 \sin (x) \cos (x)=0\)
J'étudie la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-2 \sin (x) \cos (x)=x-\sin (2 x)\) donc \(f^{\prime}(x)=1-\cos (2 x).\)
Comme la dérivée est positive, \(f\) est strictement croissante.
D'après le théorème de bijection il y a une unique solution.

Le travail à exposer
1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.

2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.

Voici ce que je pense des réponses des élèves :
Donc pour l'élève 1 l'aire du triangle est ok mais l'aire du secteur angulaire est fausse puisque c'est alpha/2 si alpha correspond à l'angle BAC
Or il a posé alpha=BAC/2
Pour l'élève 2 le problème est sur la dérivée
Sinon pour l'équation f(x)=0
L'élève 2 à la même chose que vous puisque c'est x-sin(2x) avec x=alpha/2
Donc alpha=2x
Pour l'élève 1 le problème vient de l'aire du secteur angulaire qui n'est donc pas alpha mais alpha/2 avec alpha =BAC/2 soit BAC=2alpha
Donc l'aire du secteur angulaire est 2alpha/2=alpha
Or il a écrit alpha/2

Voici mon programme informatique et les photos de l'exo :

[SoS-Math(35)]

Bonjour Jean Jacques,

Je vais essayer de te donner quelques éléments de correction.

Si on pose α l'angle BAC, l'aire du secteur angulaire est bien α / 2 ( grâce à la proportionnalité).
L'aire du triangle ABC est cos (α/2) sin ( α/2) ( en utilisant la formule base x hauteur / 2 . La hauteur s'obtient avec le cosinus et la demi-base avec le sinus).
Donc la partie hachurée est égale à α / 2 - cos (α/2) sin ( α/2)

Si on veut que les deux parties soient égales, on arrive à l'équation : α / 2 - cos (α/2) sin ( α/2) = cos (α/2) sin ( α/2)
donc α / 2 = 2 cos (α/2) sin ( α/2) ( à ce stade on utilise sin 2x = 2 sin x cos x - formule de trigonométrie)
donc α / 2 = sin α
donc à résoudre α / 2 - sin α = 0 sur l'intervalle 0; π.

On pose la fonction f(α) = α / 2 - sin α
On procède à la dérivation et à l'étude de la monotonie sur l'intervalle.
Si les conditions sont réunies, on peut donc appliquer la propriété de la bijection pour affirmer qu'il n' y a qu'une seule solution à cette équation.

Attention à bien cerner les connaissances que tu peux employer devant une classe de première spé ( ce qui à l'air d'être le cas pour ton oral).

En espérant t'avoir un peu éclairé,

Bon courage pour ton oral,

Sos math

[Paul]

Bonjour, mille merci!!

Oui ça m'a beaucoup éclairé, mais je pense que l'élève 2 ne peut pas appliquer le théorème de la bijection, il manque des conditions.
Je suivrai vos conseil, et la solution du problème je la trouvera sur calculatrice ou geogebra je pense

[SoS-Math(35)]

Impossible d'utiliser ce théorème en première spécialité .

En revanche, on peut faire tracer f(x) = x/2 et g(x) = sin x et trouver le point d'intersection des deux courbes représentatives.

Je t'envoie la courbe représentative de la fonction x/2 - sinx sur geogebra et un zoom de la solution à 0, 00 1 près.

Bon courage,

Sos math.

[Paul]

Adapté du manuel Maths'x terminale S spécifique programme 2012
c'est ce qui était écrit, du coup il pourrai appliquer ce théorème je pense ,mais encore faudrait-il que les conditions soit réuni.
Oui geogebra c'est le plus simple je pense, merci!
J'ai tracé aussi la courbe geogebra c'est pas si compliqué, j'ai trouvé les coordonnée du point d'intersection (l'unique sur l'intervalle 0 pi )crochet ouvert en 0.

[SoS-Math(35)]

En terminale oui, mais pas en première comme tu l'avais écrit pour le travail à exposer.

Bonne continuation et bon courage pour cet oral.

sos math.