Bonjour,
est-ce que en arithmétique dans l'ensemble Z des entiers relatifs, on a l'équivalence suivante ?
a divise b <=> a² divise b².
J'arrive à montrer facilement que si a divise b alors a² divise b² mais je n'arrive pas à démontrer la réciproque.
Merci.
C.
équivalence arithmétique
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Cédric
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sos-math(21)
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Re: équivalence arithmétique
Bonjour,
pour l'autre sens, tu peux partir des décompositions en produit de facteurs premiers de \(a\) et \(b\).
Les facteurs premiers de \(a^2\) et \(b^2\) n'ont que des exposants pairs et tu dois pouvoir conclure en disant que s'il existe un entier \(p\) tel que :
\(b^2=pa^2\), les facteurs premiers de \(p\) doivent aussi avoir des exposants pairs donc c'est un carré parfait : il existe un entier \(k\) tel que \(p=k^2\) donc \(b^2=pa^2\) est équivalente à \(b^2=k^2 a^2=(ka)^2\) soit \(b=\pm ka=k'a\) donc \(a\) divise \(b\).
Tu dois aussi pouvoir t'en sortir en passant par le PGCD.
Est-ce plus clair ?
pour l'autre sens, tu peux partir des décompositions en produit de facteurs premiers de \(a\) et \(b\).
Les facteurs premiers de \(a^2\) et \(b^2\) n'ont que des exposants pairs et tu dois pouvoir conclure en disant que s'il existe un entier \(p\) tel que :
\(b^2=pa^2\), les facteurs premiers de \(p\) doivent aussi avoir des exposants pairs donc c'est un carré parfait : il existe un entier \(k\) tel que \(p=k^2\) donc \(b^2=pa^2\) est équivalente à \(b^2=k^2 a^2=(ka)^2\) soit \(b=\pm ka=k'a\) donc \(a\) divise \(b\).
Tu dois aussi pouvoir t'en sortir en passant par le PGCD.
Est-ce plus clair ?
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Cédric
Re: équivalence arithmétique
Bonsoir,
oui, merci beaucoup, j'ai compris la méthode par décomposition en produit de facteurs premiers.
C.
oui, merci beaucoup, j'ai compris la méthode par décomposition en produit de facteurs premiers.
C.
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SoS-Math(35)
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Re: équivalence arithmétique
A bientôt sur le forum.
Sos math.
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