inégalités des accroissement fini

[Jean]

bonsoir j'ai un exercice que je n'arrive pas à bien Comprendre.
soit a et B deux nombres réels tels que 0<a<b. démontre que 1/(2×√b)<√b-√a<1/(2×√a).
maintenant je veux utiliser la propriété des inégalité des accroissement fini en considérant deux fonctions la première sur 0<a avec f(x)=√x/(x-a) et la deuxième fonction sur a<b avec f(x)=√x/(b-x).
je ne sais pas trop si c'est faisable mais ce que j'ai trouvé et j'aimerais avoir votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta proposition me paraît bien compliquée d'autant que l'inégalité des accroissements finis s'applique à une fonction continue "seule", pas à deux fonctions.
En fait, je ne suis pas sûr que ton inégalité soit correcte.
En effet pour \(a=3\) et \(b=5\), on a \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx 0,504\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\approx 0,224\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,289\)
L'inégalité n'est donc pas vérifiée.
Peux-tu vérifier ton énoncé ?
À bientôt sur sos-math

[jean]

bonsoir voici

[SoS-Math(35)]

Bonjour

Sur le forum, nous ne faisons pas les exercices à ta place.
Il faut que tu démarres la résolution et nous soumettes ton travail.

A bientôt sur le forum.

Sos math

[sos-math(21)]

Bonjour,
il manquait bien le \(b-a\) au dénominateur dans ton premier message.
Je te conseille donc de considérer la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,b]\).
Cette fonction est continue sur cet intervalle, dérivable sur \(]a\,;\, b[\) et sa dérivée est égale à \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
Tu peux montrer que cette dérivée est décroissante sur \(]a\,;\, b[\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle, on a :
\(\dfrac{1}{2\sqrt{b}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Il te restera à appliquer l'inégalité des accroissements finis à cette fonction entre les réels \(a\) et \(b\).
Bonne rédaction

[jean]

bonjour. au début c'est ça que j'ai fait mais quand j'applique inégalité des accroissement fini je ne trouve pas ce qu'on me demande M. moi j'ai trouvé
1/(2√b)(b-a)<√b-√a<1/(2√a)(b-a) donc je me suis dit ça va pas marché c'est ce qui m'a emmené à demander votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est cela. Ensuite il te reste à diviser les membres de ton inégalité par \(b-a>0\) :
\(\dfrac{b-a}{2\sqrt{b}}<\sqrt{b}-\sqrt{a}<\dfrac{b-a}{2\sqrt{a}}\)
On divise tout par \(b-a>0\), ce qui ne change pas le sens de l'inégalité :
\(\dfrac{1}{2\sqrt{b}}<\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Bonne continuation.

[Jean]

Merci beaucoup pour différentes explications

[sos-math(21)]

Bonjour,
bonne continuation et à bientôt sur sos-math