inégalités des accroissement fini
inégalités des accroissement fini
bonsoir j'ai un exercice que je n'arrive pas à bien Comprendre.
soit a et B deux nombres réels tels que 0<a<b. démontre que 1/(2×√b)<√b-√a<1/(2×√a).
maintenant je veux utiliser la propriété des inégalité des accroissement fini en considérant deux fonctions la première sur 0<a avec f(x)=√x/(x-a) et la deuxième fonction sur a<b avec f(x)=√x/(b-x).
je ne sais pas trop si c'est faisable mais ce que j'ai trouvé et j'aimerais avoir votre aide.
soit a et B deux nombres réels tels que 0<a<b. démontre que 1/(2×√b)<√b-√a<1/(2×√a).
maintenant je veux utiliser la propriété des inégalité des accroissement fini en considérant deux fonctions la première sur 0<a avec f(x)=√x/(x-a) et la deuxième fonction sur a<b avec f(x)=√x/(b-x).
je ne sais pas trop si c'est faisable mais ce que j'ai trouvé et j'aimerais avoir votre aide.
-
- Messages : 10398
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
ta proposition me paraît bien compliquée d'autant que l'inégalité des accroissements finis s'applique à une fonction continue "seule", pas à deux fonctions.
En fait, je ne suis pas sûr que ton inégalité soit correcte.
En effet pour \(a=3\) et \(b=5\), on a \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx 0,504\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\approx 0,224\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,289\)
L'inégalité n'est donc pas vérifiée.
Peux-tu vérifier ton énoncé ?
À bientôt sur sos-math
ta proposition me paraît bien compliquée d'autant que l'inégalité des accroissements finis s'applique à une fonction continue "seule", pas à deux fonctions.
En fait, je ne suis pas sûr que ton inégalité soit correcte.
En effet pour \(a=3\) et \(b=5\), on a \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx 0,504\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\approx 0,224\) et \(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\approx 0,289\)
L'inégalité n'est donc pas vérifiée.
Peux-tu vérifier ton énoncé ?
À bientôt sur sos-math
-
- Messages : 275
- Enregistré le : lun. 7 nov. 2022 09:59
Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour
Sur le forum, nous ne faisons pas les exercices à ta place.
Il faut que tu démarres la résolution et nous soumettes ton travail.
A bientôt sur le forum.
Sos math
Sur le forum, nous ne faisons pas les exercices à ta place.
Il faut que tu démarres la résolution et nous soumettes ton travail.
A bientôt sur le forum.
Sos math
-
- Messages : 10398
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
il manquait bien le \(b-a\) au dénominateur dans ton premier message.
Je te conseille donc de considérer la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,b]\).
Cette fonction est continue sur cet intervalle, dérivable sur \(]a\,;\, b[\) et sa dérivée est égale à \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
Tu peux montrer que cette dérivée est décroissante sur \(]a\,;\, b[\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle, on a :
\(\dfrac{1}{2\sqrt{b}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Il te restera à appliquer l'inégalité des accroissements finis à cette fonction entre les réels \(a\) et \(b\).
Bonne rédaction
il manquait bien le \(b-a\) au dénominateur dans ton premier message.
Je te conseille donc de considérer la fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) sur l'intervalle \([a\,;\,b]\).
Cette fonction est continue sur cet intervalle, dérivable sur \(]a\,;\, b[\) et sa dérivée est égale à \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
Tu peux montrer que cette dérivée est décroissante sur \(]a\,;\, b[\) donc pour tout réel \(x\) de cet intervalle, on a :
\(\dfrac{1}{2\sqrt{b}}<f'(x)<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Il te restera à appliquer l'inégalité des accroissements finis à cette fonction entre les réels \(a\) et \(b\).
Bonne rédaction
Re: inégalités des accroissement fini
bonjour. au début c'est ça que j'ai fait mais quand j'applique inégalité des accroissement fini je ne trouve pas ce qu'on me demande M. moi j'ai trouvé
1/(2√b)(b-a)<√b-√a<1/(2√a)(b-a) donc je me suis dit ça va pas marché c'est ce qui m'a emmené à demander votre aide.
1/(2√b)(b-a)<√b-√a<1/(2√a)(b-a) donc je me suis dit ça va pas marché c'est ce qui m'a emmené à demander votre aide.
-
- Messages : 10398
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
c'est cela. Ensuite il te reste à diviser les membres de ton inégalité par \(b-a>0\) :
\(\dfrac{b-a}{2\sqrt{b}}<\sqrt{b}-\sqrt{a}<\dfrac{b-a}{2\sqrt{a}}\)
On divise tout par \(b-a>0\), ce qui ne change pas le sens de l'inégalité :
\(\dfrac{1}{2\sqrt{b}}<\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Bonne continuation.
c'est cela. Ensuite il te reste à diviser les membres de ton inégalité par \(b-a>0\) :
\(\dfrac{b-a}{2\sqrt{b}}<\sqrt{b}-\sqrt{a}<\dfrac{b-a}{2\sqrt{a}}\)
On divise tout par \(b-a>0\), ce qui ne change pas le sens de l'inégalité :
\(\dfrac{1}{2\sqrt{b}}<\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}<\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\).
Bonne continuation.
Re: inégalités des accroissement fini
Merci beaucoup pour différentes explications
-
- Messages : 10398
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: inégalités des accroissement fini
Bonjour,
bonne continuation et à bientôt sur sos-math
bonne continuation et à bientôt sur sos-math