Bonjour Merci d'avance pour toute aide !
énoncé exercice :
Une étude statistique a permis de modéliser l’évolution de la masse f(x), en kg, d'un potiron en fonction dunombre x de jours par :f(x)=5.4/ 1+90exp(-0,41) ou x=0.
Pour tout réel x≥0, la vitesse de croissance de la masse du potiron le jour x est assimilée au nombre dérive f'(x), en kg par jour.
1. a. Étudier le sens de variation de f sur |0;+00.
Interpréter dans le contexte de l'exercice.
a) f(x)= 5,4/(1+90exp(-0,4x-1) , par ailleurs je ne comprends pas pourquoi on rajoute "-1" .
f(x)'= 194,4exp(-0,4x-1)/(1+90exp(-0,4x-1))^2
f(x)>0 sur l'intervalle |0;+00 , car : (1+90exp(-0,4x-1))^2>0 et 194,4exp(-0,4x-1) pour toutes valeurs de x appartenant à l'intervalle .
La masse du potiron est en constante augmentation .
b. À l'aide de la calculatrice, estimer la masse du potiron au bout d'un temps « tres long ..
f(30) environ= 5.398
f(40) environ= 5.399
f(50)=5,4
f(100)=5.4
La masse du potiron converge vers 4,5kg , jusqu'à devenir constante
2. a. Soit un réel x>0. Exprimer f"(x) et justifier que f"(x) est du signe de (90e^-04x -1).
a) Sauf que quand je calcule je trouve ça : f"(x)= 194,4exp(-0.8x-2) (-0.4exp(0.4x+1)+36) / (1+90exp(-0.4x-1))^3 donc je ne comprends pas comment démontrer qu'ils sont du même signe
b. On pose g(x) = 90e^-04x -1 pour x>0.Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle |0: +infini| et justifier que l'équation g(x) = 0
admet une unique solution a sur |0: +infini|.On donnera une valeur approchée de alpha à 0,1 près.
g(a)= 90exp(-0,4a)-1
exp(-0.4a)=1/90
-0,4a=ln(1/90)
a=4.5/0.4=11,25=11,3
Pour étudier le sens de variation de la fonction g , j'ai calculé sa dérivée g'(x)= -36exp(-0.4x) , mais je ne vois pas comment étudier son sens , j'ai pensé à un tableau de variation sur R mais l'intervalle ne prend en compte que les valeurs positif , j'ai regardé la courbe avec ma calculatrice est la courbe diminue arrivée à 0 et stagne sur l'axe des abscisse avec une valeur f(x)=-1 .
d. En utilisant l'égalité 90e^0,4alpha= 1, expliquer pourquoi on peut dire que la vitesse de croissance du potiron est maximale à mi- croissance.
celle-ci je ne comprends absolument pas comment faire .
En vous remerciant d'avance !
Etude de fonction problème
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SoS-Math(9)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Etude de fonction problème
Bonjour Mary,
Il semble qu'il y ait un problème avec ton énoncé ... tu as soit \(f(x)=\frac{5,4}{1+90e^{-0,4x-1}}\) soit \(f(x)=\frac{5,4}{1+90e^{-0,4x}}\).
et d'après la question 2.a, il faut prendre \(f(x)=\frac{5,4}{1+90e^{-0,4x}}\).
On trouve alors : \(f'(x)=\frac{194,4e^{-0,4x}}{(1+90e^{-0,4x})^2}\)
et \(f''(x)=\frac{77,76e^{-0,4x}(e^{-0,4x}-1)}{(1+90e^{-0,4x})^3}\) ce qui te permet de répondre à la question 2.a.
Pour la question 2.b, tu trouves que g'(x) < 0 sur [0 ; +oo[, donc g est décroissante sur [0 ; +oo[.
Cela doit te permettre de justifier l'unicité de la solution à l'équation g(x)=0 en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour la question 2.d, tu as trouvé que \(f''(\alpha ) = 0\) et le signe de f '' sur [0 ; +oo[ va te donner les variations de f ' (qui correspond à la vitesse de croissance) sur [0 ; +oo[.
SoSMath.
Il semble qu'il y ait un problème avec ton énoncé ... tu as soit \(f(x)=\frac{5,4}{1+90e^{-0,4x-1}}\) soit \(f(x)=\frac{5,4}{1+90e^{-0,4x}}\).
et d'après la question 2.a, il faut prendre \(f(x)=\frac{5,4}{1+90e^{-0,4x}}\).
On trouve alors : \(f'(x)=\frac{194,4e^{-0,4x}}{(1+90e^{-0,4x})^2}\)
et \(f''(x)=\frac{77,76e^{-0,4x}(e^{-0,4x}-1)}{(1+90e^{-0,4x})^3}\) ce qui te permet de répondre à la question 2.a.
Pour la question 2.b, tu trouves que g'(x) < 0 sur [0 ; +oo[, donc g est décroissante sur [0 ; +oo[.
Cela doit te permettre de justifier l'unicité de la solution à l'équation g(x)=0 en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour la question 2.d, tu as trouvé que \(f''(\alpha ) = 0\) et le signe de f '' sur [0 ; +oo[ va te donner les variations de f ' (qui correspond à la vitesse de croissance) sur [0 ; +oo[.
SoSMath.
-
mary
Re: Etude de fonction problème
Merci pour votre aide !
J'ai quelques questions :
Pour étudier le sens de variation je suis obligée d'utiliser un tableau de variations ?
Pour la question 2a , est ce que je dois réaliser un tableau de signes pour les deux fonctions ?
Pour la question b , je ne vois pas comment faire mon tableau de variations
J'ai quelques questions :
Pour étudier le sens de variation je suis obligée d'utiliser un tableau de variations ?
Pour la question 2a , est ce que je dois réaliser un tableau de signes pour les deux fonctions ?
Pour la question b , je ne vois pas comment faire mon tableau de variations
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SoS-Math(9)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Etude de fonction problème
Mary,
tu n'es pas obligé de faire un tableau de variations pour étudier les variations ... tu peux juste dire que la dérivée est positif sur un intervalle et donc que la fonction est croissante sur cet intervalle.
Pour la question 2a, il faut dire que, pour tout réel x de [0 ; +oo[, \(77,76e^{−0,4x}\) et \((1+90e^{−0,4x})^3\) sont positifs donc que f ''(x) est du signe du dernier facteur \(e^{−0,4x}-1\) .
Pour la question 2b, tu fais comme pour les autres fonctions ...
1ère ligne : la variables x
2ème ligne : le signe de la dérivée (ici f '' qui est la dérivée de f ')
3ème ligne : les variations de la fonction (ici f ')
SoSMath.
tu n'es pas obligé de faire un tableau de variations pour étudier les variations ... tu peux juste dire que la dérivée est positif sur un intervalle et donc que la fonction est croissante sur cet intervalle.
Pour la question 2a, il faut dire que, pour tout réel x de [0 ; +oo[, \(77,76e^{−0,4x}\) et \((1+90e^{−0,4x})^3\) sont positifs donc que f ''(x) est du signe du dernier facteur \(e^{−0,4x}-1\) .
Pour la question 2b, tu fais comme pour les autres fonctions ...
1ère ligne : la variables x
2ème ligne : le signe de la dérivée (ici f '' qui est la dérivée de f ')
3ème ligne : les variations de la fonction (ici f ')
SoSMath.