étude fonction

[Nanou]

Bonjour ,
Ayant quelques difficultés avec les études de fonction , je souhaite savoir si ce que j'ai fait est juste !

Partie A
Soit 𝒈 la fonction définie sur ℝ par 𝒈(𝒙) = 𝟐 + 𝟏− 𝟏.
1. Montrer que 𝒈 est croissante sur ℝ.
2. Démontrer qu'il existe un unique réel 𝜶 ∈ ]𝟎; 𝟏[ tel que 𝒈(𝜶) = 𝟎 ; donner un encadrement de 𝜶 à
𝟎, 𝟎𝟏 près.
3. En déduire le signe de 𝒈.

Partie A Soit 𝒈 la fonction définie sur ℝ par 𝒈(𝒙) = 𝒙√𝒙 𝟐 + 𝟏− 𝟏.

1. Montrer que 𝒈 est croissante sur ℝ.
2. Démontrer qu'il existe un unique réel 𝜶 ∈ ]𝟎; 𝟏[ tel que 𝒈(𝜶) = 𝟎 ; donner un encadrement de 𝜶 à 𝟎, 𝟎𝟏 près.
3. En déduire le signe de 𝒈.

1) 𝒈(𝒙) = 𝒙(√𝒙^𝟐 + 𝟏)− 𝟏.
𝒈’(𝒙) = 2x^2+1/ racine carré de (x^2+1)
𝒈’(𝒙)＞0 sur R car :
racine carré de (x^2+1) ＞0 ; ∀x pour tout R
2x2+1 ＞0 ; ∀x pour tout R

2) g(0)= -1<0 et g(1)= -1+ racine carré de 2
-1< 𝜶<1
d'après graphique fait sur calculatrice 𝜶 environ égale à 0,79

3) g est positif sur intervale ]𝟎; 𝟏
car d' après tableau de variation
0 𝜶 1
-1 (fléche qui monte) 0 (flèche qui monte) -1+ racine carré de 2 ( environ égale à 0,414)

Merci d'avance , de votre aide !

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

Je suis d'accord avec ta dérivée. Donc avec la monotonie de la fonction sur R.

Je suis aussi d'accord avec g(0) et g(1).
Pour cette question, tu dois utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour démonter qu'il existe un unique réel 𝜶 entre 0 et 1 tel que g(𝜶 ) = 0.

Pour le signe de g sur R, tu dois te servir de la monotonie de la fonction, donc du tableau des variations et de la valeur de 𝜶

Pour x appartenant à ].....[, g(x) est ........
Pour x appartenant à ].....[, g(x) est ........

Je te laisse finir cet exercice.

A bientôt,

Sos math.

[Nanou]

Merci pour votre aide précieuse !

Du coup , j'ai un énorme blocage avec la seconde partie de mon exercice :
Partie B
Soit 𝒇 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = x^3/3 - √ (x^2 +1)
1. Montrer que 𝑓′(𝑥) =𝑥 𝑔(𝑥) /√(𝑥^2+1)
2. En déduire le tableau de variations de 𝒇.
3. Montrer que 𝑓(𝛼) =(𝛼^3/3)− (1/𝛼)

1) pour la dérivée , je trouve ça : f'(x)= (x^2)-[x/ √ (x^2 +1)]
sachant que 𝒈(𝒙) = 𝒙√(𝒙^𝟐 + 𝟏)− 𝟏.
et que g'(x)= 2x^2+1/√(𝒙^𝟐 + 𝟏)
Je n'arrive pas à comprendre pour quoi le (x^2-x) est remplacé par g(x) .

2) On en déduit que la monotonie de g(x) s'applique à f(x)
néanmoins quand je calcule :
f'(x) = xg(x)/ √ (x^2 +1)
= x(x √ (x^2 +1)-1)/ √ (x^2 +1))
=(x^2 )x√ (x^2 +1)-x/ √ (x^2 +1)
= x^2
Donc f est croissant sur R , mais cela me semble faux

3) Je ne comprends pas pourquoi √(𝛼^2 +1) devient 1/𝛼 j'ai pensé à la dérivée de √ (x) , mais cela ne me semble pas logique puisque l'énoncé parle de la fonction non dérivée .

[SoS-Math(35)]

je suis d'accord avec f' que tu vas mettre au même dénominateur donc sur √ (x^2 +1).

Ensuite lorsque tu calcules 𝑥 𝑔(𝑥) /√(𝑥^2+1) , tu dois trouver ( x² √ (x^2 +1) - 1) / √ (x^2 +1).

Tu vas donc t'apercevoir que les deux expressions sont égales.

Pour la question 2) , tu dois te servir de la question 3) Partie A , en particulier le signe de f que tu as déterminé sans oublier le produit avec x !!

Pour la question 3 ) 𝑓(𝛼) =(𝛼^3/3)− √ (𝛼^2 +1).

Tu dois alors utiliser g (𝛼) = 0. donc 𝛼 (√ (𝛼^2 +1) - 1 = 0 .
Tu devrais pour facilement isoler √ (𝛼^2 +1).

Je te laisse finir.

A bientôt sur le forum.

Sos Math.

[Nanou]

Bonjour , Merci pour votre aide
J'ai refait l'exercice , pouvez vous me dire si c'est à peu près juste cette fois ?

Partie A
Soit 𝒈 la fonction définie sur ℝ par 𝒈(𝒙) = 𝒙(√𝒙^2+1)-1
1. Montrer que 𝒈 est croissante sur ℝ.
2. Démontrer qu'il existe un unique réel 𝜶 ∈ ]𝟎; 𝟏[ tel que 𝒈(𝜶) = 𝟎 ; donner un encadrement de 𝜶 à
𝟎, 𝟎𝟏 près.
3. En déduire le signe de 𝒈.

1) g(x) est dérivable sur R ,
g'(x)= 2x^2+1/ racine carré de 2x^2+1
Si g'(x)>0 alors g est croissant
g est croissant car :
2x^2+1 et racine carré de 2x^2+1>0 , pour toutes valeur de x appartenant à R

2) tableau de signe intervalle : ]-infini , + infini[
x |0 , a , 1
flèche qui descend à g(0)=-1 , flèche qui monte g(1)= -1+racine carré de 2
Il y a un 0 entre g(0) et g(1) .

g(a)= 0
g(a)=a racine carré (a^2+1) -1
équation
a racine carré (a^2+1) -1 =0
a=racine carré (1/a)^2-1
a>0 , on fait un encadrement grâce au tableau de valeur de la calculatrice : 0,70<a<0,80

3) signe de g
Pour x appartenant à ]-oo;0] , g <0
Pour x appartenant à [1,+oo[

Partie B
2. En déduire le tableau de variations de 𝒇.
3. Montrer que 𝑓(𝛼) =𝛼3/3−1/𝛼

1) Comme vous me l'avez dit , j'ai finalement trouver la dérivée , je n'écris pas toutes les étapes juste la denière :
x(x racine(x^2+1)-1) / racine de x^2+1

2) Tableau de variation de f : intervalle R

- infini , 0 , +infini
f: flèche qui descend à f(0) , puis flèche qui monte

3) Pour f(a) je n'arrive pas à prouver
je trouve : f(a)=[ -3racine (a^2+1) + a^3]/3

[SoS-Math(35)]

Bonsoir,

Partie A :

Je suis d'accord pour la dérivée.
En revanche pour tout x appartenant à R, g'(x) est positif donc la fonction est croissante sur R.
Tableau de variations : flèche croissante sur R.

g( 0) = -1 et g( 1) = √2 -1 ( positif).
la fonction étant croissante , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un et un seul réel a tel que g(a) = 0.
Je suis d'accord avec ton encadrement de a.

Pour x appartenant à ]-oo;a[ , g(x) est négatif .
Pour x appartenant à ]a ; oo [, g(x) est positif.

Partie B :

Je suis d'accord avec toi pour le calcul de f'. Tu retrouves donc que f'(x) = f'(x) = xg(x)/ √ (x^2 +1)

C'est aussi pour cela qu'on t a fait étudier le signe de g dans la partie précédente.

Pour ]-oo ; 0[, f'(x) est positive donc f est croissante.
Pour ]0;a[, f'(x) est négative donc f est décroissante.
Pour ]a ; + oo[, f'(x) est positive donc f est croissante.

Pour la question 3 ) 𝑓(𝛼) =(𝛼^3/3)− √ (𝛼^2 +1) ( reprise de la définition de la fonction)

Tu dois alors utiliser g (𝛼) = 0. donc 𝛼 (√ (𝛼^2 +1) - 1 = 0 .
Tu isoles √ (𝛼^2 + 1) = 1 / 𝛼 , expression qu'on remplace dans f ( 𝛼).

On peut ainsi conclure.

A bientôt sur le forum.

Sos math.