Bonjour j'ai un exercice compliqué à faire, j'aimerais bien un petit peu d'aide du coup s'il vous plait.
"soit q>1. On se propose de comparer la suite définie par : pour tout n appartient à N, u(n) = q^n à une suite arithmétique.
Premier question : A l'aide de l'inégalité de Bernouilli, démontrer : pour tout q>1, pour tout n appartient à N, q^n> 1+n(q-1)
Merci d'avance !
exercice dur
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léa
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sos-math(21)
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Re: exercice dur
Bonjour,
Tout d'abord, il te faut connaître l'inégalité de Bernoulli : celle-ci te dit que pour tout entier naturel non nul \(n\), pour tout réel \(x>-1\), on a \((1+x)^n\geqslant 1+nx\)
Cela semble très proche de ta question. Comme, cela est vrai pour tout \(x>-1\), en prenant \(x=q-1\), on a bien \(x>-1\) car \(q>0\), donc peut appliquer l'inégalité de Bernoulli avec \(x=q-1\).
Je te laisse appliquer cette formule et tu auras ta réponse.
Bonne continuation
Tout d'abord, il te faut connaître l'inégalité de Bernoulli : celle-ci te dit que pour tout entier naturel non nul \(n\), pour tout réel \(x>-1\), on a \((1+x)^n\geqslant 1+nx\)
Cela semble très proche de ta question. Comme, cela est vrai pour tout \(x>-1\), en prenant \(x=q-1\), on a bien \(x>-1\) car \(q>0\), donc peut appliquer l'inégalité de Bernoulli avec \(x=q-1\).
Je te laisse appliquer cette formule et tu auras ta réponse.
Bonne continuation
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léa
Re: exercice dur
Merci j'ai compris !
et juste pour terminer comment on trouve la limite de "q^n> 1+n(q-1)" ?
merci
et juste pour terminer comment on trouve la limite de "q^n> 1+n(q-1)" ?
merci
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sos-math(21)
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Re: exercice dur
Bonjour,
tu ne peux pas déterminer la limite d'une inégalité, cela n'a pas de sens.
En revanche, cette inégalité te sert à déterminer la limite de la suite \((q^n)\) par comparaison.
En effet, lorsque \(n\to+\infty\), la suite de terme général \(1+n(q-1)\) tend vers \(+\infty\) : \(\lim_{n\to+\infty}1+n(q-1)=+\infty\).
Comme on a pour tout entier naturel non nul \(n\), \(q^n\geqslant 1+n(q-1)\), on a aussi par comparaison \(\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty\).
Bonne continuation
tu ne peux pas déterminer la limite d'une inégalité, cela n'a pas de sens.
En revanche, cette inégalité te sert à déterminer la limite de la suite \((q^n)\) par comparaison.
En effet, lorsque \(n\to+\infty\), la suite de terme général \(1+n(q-1)\) tend vers \(+\infty\) : \(\lim_{n\to+\infty}1+n(q-1)=+\infty\).
Comme on a pour tout entier naturel non nul \(n\), \(q^n\geqslant 1+n(q-1)\), on a aussi par comparaison \(\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty\).
Bonne continuation