exo

[maxime]

Bonsoir,
J'ai cet exo à faire :
soit, pour tout n appartient à N*, s(n) ="signe somme avec n au dessus et k=p en bas" 1/(k(k+1))

1. Démontrer que la suite est strictement croissante
Je pensais faire u(n+1)-u(n) et vérifier que cette différence est > 0 mais je n'y arrive pas...

2. Démontrer que s(n) = n/(n+1)

3. D'après ce qui précède, la suite s(n) est-elle majorée ?

merci beaucoup

[maxime]

Bonsoir désolé j'ai envoyé le message sur 1ère au lieu de terminale...

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Maxime,

Pour la question 1, ta méthode est bonne ...
\(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} - (\frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}) = ...\) je te laisse terminer.

Pour la question 2, il faut montrer que \(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\) puis faire la somme ...

Bon courage,
SoSMath.

[maxime]

\(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} - (\frac{1}{p(p+1)}+....+\frac{1}{n(n+1)})\)

Merci beaucoup mais je ne comprends pas comment vous trouvez ceci..

[SoS-Math(9)]

Maxime,

tu as bien \(u_n =\sum_{k=p}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\) ce qui donne \(u_n= \frac{1}{p(p+1)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+....+\frac{1}{n(n+1)}\)

SoSMath.

[maxime]

C'est (n+1)(n+2) ou (p+1)(p+2) ?

[maxime]

Mais en fait ce que je ne comprends pas c'est qu'est ce qu'il faut remplacer vu qu'il n'y a pas de n dans la formule... merci

[SoS-Math(35)]

Bonjour Maxime,

Pour la propriété au rang n+1, tu dois calculer la somme pour k jusqu'à n+1. Donc k + 1 = n+ 1 + 1= n +2.

Lorsque tu calcules Un+1 - Un , tu élimines terme à terme et il te reste 1 / (n+1)(n+2) qui est positif.

Tu peux ainsi conclure sur la monotonie de la suite.

Sos math.

[maxime]

Merci beaucoup au final j'ai réussi à trouver ce résultat !
Est ce que je pourrais avoir une petite aide pour la question 2 ? je ne sais même pas comment débuter, merci encore

[SoS-Math(9)]

Maxime,

Pour la question 2, il faut montrer que \(\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\) puis faire la somme ...

S(n) = \(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{p}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) \) = \((\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\) = ... je te laisse simplifier cette somme qui va te donner le résultat demandé.

SoSMath.

[SoS-Math(35)]

Tu peux te servir comme il t'a été dit hier 1/k(k+1) = 1/k - 1/k+1

Puis ensuite faire la somme de p jusqu' à n. Par soustractions successives, il va te rester 1/p - 1 / (n+1) que tu vas réduire au même dénominateur.
Il te faudra ensuite remplacer p par 1 pour arriver au résultat souhaité.

Bon courage.