Question

[Nathan]

Bonjour,
dans une correction d'exercices, pour déterminer le minimum de la suite u(n) = (2n+(-1)^n)/(n+2), mon prof a calculé u(n)-(1/3) parce qu'on avait conjecturé avant que 1/3 était le plus grand minorant de la suite, mais le problème c'est que je ne comprends pas pourquoi il a fait ce calcul pour déterminer le minimum...

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
en mathématiques, pour établir une inégalité \(a>b\), il est parfois plus simple de considérer la quantité \(a-b\) et d'étudier son signe.
Si on arrive à montrer que \(a-b\) est toujours positive, on a alors \(a-b>0\) ce qui est équivalent à \(a>b\)?
Dans ton exemple, ton professeur a cherché "à la main" un minimum, il a conjecturé que \(\dfrac{1}{3}\) pouvait constituer un minorant.
Pour prouver \(u_n\geqslant \dfrac{1}{3}\) pour tout entier naturel \(n\), il a calculé la différence \(u_n-\dfrac{1}{3}\) et il a démontré que cette différence est positive : le fait de tout mettre dans un même membre permet des regroupements et des factorisations qui simplifient l'étude du signe.
Est-ce plus clair ?

[Nathan]

et pourquoi si la différence avait été négative 1/3 n'aurait pas pu etre un minorant ? merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Si ta différence avait été négative, tu aurais eu pour tout entier naturel \(n\) \(u_n-\dfrac{1}{3}<0\) donc \(u_n<\dfrac{1}{3}\) et dans ce cas \(\dfrac{1}{3}\) aurait été un majorant.
Bonne continuation