arithmétique - ensemble de nombres

[Cédric]

Bonjour,
Un nombre est décimal si et seulement si il est POSSIBLE de l'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
En effet, je pense avoir compris que l'équivalence serait fausse si on avait écrit "Un nombre est décimal si et seulement si il s'écrit avec un nombre fini de chiffres avec la virgule" car 1=0,9999999 ... serait un contre-exemple (0,99999999 .... s'écrivant avec une infinité de chiffres après la virgule tout en étant un nombre décimal).
La question que je me pose c'est de savoir s'il existe d'autres contre-exemples avec d'autres chiffres que le chiffre 9 en période et 0 bien sûr.
Merci de m'éclairer !
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
en fait n'importe quel décimal de la forme \(a,a_1a_2\ldots a_m\) (avec \(a_m>0\)) admet aussi un développement décimal illimité impropre de la forme :
\(a,a_1\ldots(a_m-1)999999\ldots\) Ces deux écritures définissent le même nombre réel car :
la partie décimale formée par des \(9\) peut s'écrire, entre le rang \(m+1\) et le rang \(n\) :
\(\dfrac{9}{10^{m+1}}+\dfrac{9}{10^{m+2}}+\ldots \dfrac{9}{10^n}=\dfrac{1}{10^{m}}-\dfrac{1}{10^n}\).
Donc, lorsqu'on poursuit cette suite de décimales égales à 9, cela revient à faire tendre \(n\) vers \(+\infty\).
Donc on a \(\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{9}{10^{m+1}}+\dfrac{9}{10^{m+2}}+\ldots \dfrac{9}{10^n}\right)=\dfrac{1}{10^m}\)
Donc on retrouve bien la décimale à rajouter au rang \(m\).
Par exemple \(0,1726\) et \(0,17259999999\ldots\) définissent un seul et même nombre.
Est-ce plus clair ? C'est une notion délicate et qui interroge de nombreux professeurs de mathématiques.
Bonne continuation

[Cédric]

Bonsoir,
merci pour votre réponse.
Donc si j'ai bien compris, il n'existe pas de contre-exemple autre qu'avec une période de 9 ou de 0.
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est cela : un décimal possède un développement décimal illimité propre et un développement décimal illimité impropre.
Bonne continuation