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TS:nombre complexe
Posté : jeu. 1 nov. 2007 11:45
par Invité
Bonjour
Voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive pas à continuer.
Soit z=x+iy un nombre complexe différent de i. On pose z'=x'+iy'=\(\frac{iz-2+4i}{z-i}\)
1) Calculer x' et y' en fonction de x et y
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que z' soit un nombre réel
3) On pose Z=z-i et Z'=z'-i. Montrer que ZZ'=-3+4i et calculer le module de ZZ'
4) Montrer que, si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre dont on précisera le rayon
Voici ce que j'ai trouvé
1) z'=\(\frac{i(x+iy)-2+4i}{x+iy-i}\)=\(\frac{(-2-y)+i(x+4)}{x+i(y-1)}\)=\(\frac{((-2-y)+i(x+4))((-2-y)-i(x+4))(x-i(y+1))}{(x+i(y-1))((-2-y)-i(x-4))(x-i(y+1))}\)
Je n'arrive pas à finir ce calcul et du coup je suis bloqué pour la suite de l'exercice.
Pouvez-vous m'aider?
A bientôt
SoS-Math(8)
Posté : ven. 2 nov. 2007 20:49
par SoS-Math(8)
Elève a écrit :Bonjour
Voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive pas à continuer.
Soit z=x+iy un nombre complexe différent de i. On pose z'=x'+iy'=\(\frac{iz-2+4i}{z-i}\)
1) Calculer x' et y' en fonction de x et y
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que z' soit un nombre réel
3) On pose Z=z-i et Z'=z'-i. Montrer que ZZ'=-3+4i et calculer le module de ZZ'
4) Montrer que, si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre dont on précisera le rayon
Voici ce que j'ai trouvé
1) z'=\(\frac{i(x+iy)-2+4i}{x+iy-i}\)=\(\frac{(-2-y)+i(x+4)}{x+i(y-1)}\)=\(\frac{((-2-y)+i(x+4))((-2-y)-i(x+4))(x-i(y+1))}{(x+i(y-1))((-2-y)-i(x-4))(x-i(y+1))}\)
Attention, vous avez utilisé la quantité conjuguée du numérateur.
C'est uniquement celle du dénominateur qu'il faut utiliser.
Je n'arrive pas à finir ce calcul et du coup je suis bloqué pour la suite de l'exercice.
Pouvez-vous m'aider?
A bientôt
TS:nombre complexe
Posté : lun. 5 nov. 2007 12:04
par Invité
Bonjour
Voilà ce que j'ai trouvé grâce à votre aide.
1) z'=\(\frac{-3x+4y-4+i(x²+y²+4x+y-2)}{x²+(y-1)²}\)
On a posé z'=x'+iy' donc x'=\(\frac{-3x+4y-4}{x²+(y-1)²}\) et y'=\(\frac{x²+y²+4x+y-2}{x²+(y-1)²}\)
2) L'ensemble des points M(z) tels que M'(z') soit sur l'axe réel est le cercle C de centre (-2; \(\frac{-1}{2}\)) et de rayon \(\frac{5}{2}\) privé du point A (0;1): j'ai trouvé cela en cherchant l'équation de C
3) Je n'arrive pas à calculer ZZ' ça me donne des calculs qui n'en finissent pas et que je ne peux pas réduire.
Je sais que ZZ'=(z-i)(z'-i) j'ai pris z=x+iy et z'=\(\frac{-3x+4y-4+i(x²+y²+4x+y-2)}{x²+(y-1)²}\) mais ça n'a pas l'air de marcher. Est-ce bien ces valeurs qu'i faut prendre. Pouvez-vous m'indiquer le début de la démarche à suivre?
Merci beaucoup
SoS-Math(8)
Posté : lun. 5 nov. 2007 19:06
par SoS-Math(8)
Bonjour,
Je suis d'accord avec les résultats des questions 1 et 2.
Pour la 3, c'est simple: gardez l'expression de départ pour z':
ZZ'=(z-i)(z'-i)
\(ZZ'=(z-i)\left(\frac{iz-2+4i}{z-i}-i\right)\)
\(ZZ'=iz-2+4i-(z-i)\timesi\)
Il ne reste plus qu'a terminer, sans exprimer z par sa forme algébrique.
Petit conseil, avec les nombres complexe, le recours systématique à la forme algébrique n'est pas toujours la bonne solution, les calculs sont vite "lourds".
Bonne continuation.
TS:nombre complexe
Posté : lun. 5 nov. 2007 21:15
par Invité
Bonsoir
J'ai compris ce que vous m'expliquez mais je n'arrive toujours pas à finir ce calcul et pourtant j'ai l'impression de ne pas en être loin. Ca ne doit pas être si compliqué.
Avec ce que vous me dites je trouve
iz-2+4i-(z-i)= iz-2+4i-z+i= iz-2+5i-z
Et là je bloque à nouveau
Merci beaucoup pour votre aide
SoS-Math(8)
Posté : lun. 5 nov. 2007 22:55
par SoS-Math(8)
Bonjour,
Désolé, mais en écrivant le calcul( en TeX) j'ai oublié \(i\) devant \((z-i)\), il faut lire:
\(ZZ'=(z-i)\left(\frac{iz-2+4i}{z-i}-i\right)\)
\(ZZ'=(z-i)\times\frac{iz-2+4i}{z-i}-i\times(z-i)\)
\(ZZ'=iz-2+4i-iz-1\)
\(ZZ'=-3+4i\)
Au fait merci à vous d'avoir fait l'effort d'écrire correctement les fractions en TeX.
Bon courage pour la suite.
TS:nombre complexe
Posté : mar. 6 nov. 2007 12:21
par Invité
Bonjour
Voici la suite de ma réponse à la question 3):
Ayant trouvé que ZZ'=-3+4i
Le module de ZZ' est le module de -3+4i ce qui est égal à \(\sqrt{25}\)
Le module de ZZ' est égal à 5
Je n'arrive pas du tout à faire la question 4). Pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup pour votre aide
SoS-Math(8)
Posté : mar. 6 nov. 2007 16:34
par SoS-Math(8)
Bonjour,
il faut utiliser la question précédente( c'est souvent le cas en Mathématiques).
On sait que |ZZ'|=5.
|ZZ'|=|Z||Z'|
Donc si M(z) décrit le cercle de centre A(i) et de rayon r alors |Z|=|z-i|=r.
A vous de conclure pour |Z'| et d'en déduire la conclusion.
TS:nombre complexe
Posté : mar. 6 nov. 2007 20:44
par Invité
Bonsoir
Volià comment j'ai répondu à la question 4)
On sait que|ZZ'|=5
|ZZ'|=|Z||Z'|
Donc si M(z) décrit le cercle de centre A(i) et de rayon r alors |Z|=|z-i|=r et |Z'|=|z'-i|=5r
On peut donc conclure que si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre et de rayon 5r.
Est-ce ainsi qu'il faut répondre?
Merci pour votre aide.
SoS-Math(8)
Posté : mar. 6 nov. 2007 20:55
par SoS-Math(8)
Bonjour,
Pas tout à fait.
C'est juste un problème d'équation:
|Z||Z'|=5 donc : \(r\times |Z'|=5\)
\(|Z'|=\frac{5}{r}\)
Donc quelle sera la conclusion ?
TS:nombre complexe
Posté : mar. 6 nov. 2007 21:02
par Invité
On peut donc conclure que si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre et de rayon \(\frac{5}{r}\)
SoS-Math(8)
Posté : mar. 6 nov. 2007 21:12
par SoS-Math(8)
Et oui,
c'est beau une fin de problème de mathématique !