TS:nombre complexe

[Invité]

Bonjour
Voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive pas à continuer.

Soit z=x+iy un nombre complexe différent de i. On pose z'=x'+iy'=\(\frac{iz-2+4i}{z-i}\)
1) Calculer x' et y' en fonction de x et y
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que z' soit un nombre réel
3) On pose Z=z-i et Z'=z'-i. Montrer que ZZ'=-3+4i et calculer le module de ZZ'
4) Montrer que, si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre dont on précisera le rayon

Voici ce que j'ai trouvé
1) z'=\(\frac{i(x+iy)-2+4i}{x+iy-i}\)=\(\frac{(-2-y)+i(x+4)}{x+i(y-1)}\)=\(\frac{((-2-y)+i(x+4))((-2-y)-i(x+4))(x-i(y+1))}{(x+i(y-1))((-2-y)-i(x-4))(x-i(y+1))}\)

Je n'arrive pas à finir ce calcul et du coup je suis bloqué pour la suite de l'exercice.
Pouvez-vous m'aider?
A bientôt

[SoS-Math(8)]

Bonjour
Voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive pas à continuer.

Soit z=x+iy un nombre complexe différent de i. On pose z'=x'+iy'=\(\frac{iz-2+4i}{z-i}\)
1) Calculer x' et y' en fonction de x et y
2) Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) tels que z' soit un nombre réel
3) On pose Z=z-i et Z'=z'-i. Montrer que ZZ'=-3+4i et calculer le module de ZZ'
4) Montrer que, si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre dont on précisera le rayon

Voici ce que j'ai trouvé
1) z'=\(\frac{i(x+iy)-2+4i}{x+iy-i}\)=\(\frac{(-2-y)+i(x+4)}{x+i(y-1)}\)=\(\frac{((-2-y)+i(x+4))((-2-y)-i(x+4))(x-i(y+1))}{(x+i(y-1))((-2-y)-i(x-4))(x-i(y+1))}\)

Attention, vous avez utilisé la quantité conjuguée du numérateur.
C'est uniquement celle du dénominateur qu'il faut utiliser.
Je n'arrive pas à finir ce calcul et du coup je suis bloqué pour la suite de l'exercice.
Pouvez-vous m'aider?
A bientôt

[Invité]

Bonjour
Voilà ce que j'ai trouvé grâce à votre aide.

1) z'=\(\frac{-3x+4y-4+i(x²+y²+4x+y-2)}{x²+(y-1)²}\)
On a posé z'=x'+iy' donc x'=\(\frac{-3x+4y-4}{x²+(y-1)²}\) et y'=\(\frac{x²+y²+4x+y-2}{x²+(y-1)²}\)

2) L'ensemble des points M(z) tels que M'(z') soit sur l'axe réel est le cercle C de centre (-2; \(\frac{-1}{2}\)) et de rayon \(\frac{5}{2}\) privé du point A (0;1): j'ai trouvé cela en cherchant l'équation de C

3) Je n'arrive pas à calculer ZZ' ça me donne des calculs qui n'en finissent pas et que je ne peux pas réduire.
Je sais que ZZ'=(z-i)(z'-i) j'ai pris z=x+iy et z'=\(\frac{-3x+4y-4+i(x²+y²+4x+y-2)}{x²+(y-1)²}\) mais ça n'a pas l'air de marcher. Est-ce bien ces valeurs qu'i faut prendre. Pouvez-vous m'indiquer le début de la démarche à suivre?

Merci beaucoup

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Je suis d'accord avec les résultats des questions 1 et 2.
Pour la 3, c'est simple: gardez l'expression de départ pour z':
ZZ'=(z-i)(z'-i)
\(ZZ'=(z-i)\left(\frac{iz-2+4i}{z-i}-i\right)\)
\(ZZ'=iz-2+4i-(z-i)\timesi\)
Il ne reste plus qu'a terminer, sans exprimer z par sa forme algébrique.
Petit conseil, avec les nombres complexe, le recours systématique à la forme algébrique n'est pas toujours la bonne solution, les calculs sont vite "lourds".
Bonne continuation.

[Invité]

Bonsoir

J'ai compris ce que vous m'expliquez mais je n'arrive toujours pas à finir ce calcul et pourtant j'ai l'impression de ne pas en être loin. Ca ne doit pas être si compliqué.

Avec ce que vous me dites je trouve
iz-2+4i-(z-i)= iz-2+4i-z+i= iz-2+5i-z
Et là je bloque à nouveau

Merci beaucoup pour votre aide

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
Désolé, mais en écrivant le calcul( en TeX) j'ai oublié \(i\) devant \((z-i)\), il faut lire:

\(ZZ'=(z-i)\left(\frac{iz-2+4i}{z-i}-i\right)\)
\(ZZ'=(z-i)\times\frac{iz-2+4i}{z-i}-i\times(z-i)\)
\(ZZ'=iz-2+4i-iz-1\)
\(ZZ'=-3+4i\)

Au fait merci à vous d'avoir fait l'effort d'écrire correctement les fractions en TeX.

Bon courage pour la suite.

[Invité]

Bonjour

Voici la suite de ma réponse à la question 3):
Ayant trouvé que ZZ'=-3+4i
Le module de ZZ' est le module de -3+4i ce qui est égal à \(\sqrt{25}\)
Le module de ZZ' est égal à 5

Je n'arrive pas du tout à faire la question 4). Pouvez-vous m'aider?

Merci beaucoup pour votre aide

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
il faut utiliser la question précédente( c'est souvent le cas en Mathématiques).
On sait que |ZZ'|=5.
|ZZ'|=|Z||Z'|
Donc si M(z) décrit le cercle de centre A(i) et de rayon r alors |Z|=|z-i|=r.
A vous de conclure pour |Z'| et d'en déduire la conclusion.

[Invité]

Bonsoir

Volià comment j'ai répondu à la question 4)
On sait que|ZZ'|=5
|ZZ'|=|Z||Z'|
Donc si M(z) décrit le cercle de centre A(i) et de rayon r alors |Z|=|z-i|=r et |Z'|=|z'-i|=5r
On peut donc conclure que si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre et de rayon 5r.

Est-ce ainsi qu'il faut répondre?
Merci pour votre aide.

[SoS-Math(8)]

Bonjour,
Pas tout à fait.
C'est juste un problème d'équation:
|Z||Z'|=5 donc : \(r\times |Z'|=5\)
\(|Z'|=\frac{5}{r}\)
Donc quelle sera la conclusion ?

[Invité]

On peut donc conclure que si M(z) décrit un cercle de centre A(i) et de rayon r, M'(z') décrit un cercle de même centre et de rayon \(\frac{5}{r}\)

[SoS-Math(8)]

Et oui,
c'est beau une fin de problème de mathématique !