exercice

[louis]

Bonjour,
j'ai cet exercice à faire :

On définit pour tout entier naturel non n nul, factorielle n, noté n! comme étant le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs à n.

Il faut montrer par réccurrence que pour tout n appartient à N étoile,
"symbole somme avec n au dessus et k = 1 en dessous" k * k! + 1 = (n+1)!

en sachant que (n+1)! = (n+1)* n (je n'ai pas compris ca non plus d'ailleurs)...

J'ai fais l'initialisation mais apres je suis bloqué...

MERCI

[louis]

SVP c'est pour demain...

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux procéder par récurrence sur \(n\in\mathbb{N}^*\) pour prouver la propriété \(\mathcal{P}_n\,\, : (\sum_{k=1}^{n}k\times k!) + 1=(n+1)!\).
Initialisation au rang \(n=1\) : je te laisse faire pour prouver que \(\mathcal{P}_1\) est vraie.
Hérédité : on suppose que, pour un entier naturel \(n\geqslant 1\), \(\mathcal{P}_n\) est vraie et on va montrer que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
On part de la somme au rang \(n+1\) : cela revient à rajouter le terme de rang \(n+1\) à la somme jusqu'au rang \(n\) :
On a donc \((\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1=\underbrace{(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+1}_{=(n+1)! \, (\mathcal{P}_n)}+(n+1)\times (n+1)!\)
On a donc : \((\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(n+1)!+(n+1)\times (n+1)!\)
Il te reste à factoriser par \((n+1)!\) pour prouver \(\mathcal{P}_{n+1}\).
Je te laisse terminer.
Bonne continuation

[louis]

Merci beaucoup ! Juste P(n+1) c'est bien = à (n+1)! (2+n) ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui c'est cela et par définition de la factorielle, on a \((n+2)\times (n+1)!=(n+2)!\) donc cela prouve bien que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Il reste à conclure par le principe de récurrence.
Bonne continuation

[louis]

Merci j'ai pu finir, par contre je n'ai pas compris pourqoui (n+1)! est égal à (n+1)*n! et aussi pourquoi (n+1)!(n+2) = (n+2)!

Merci beaucoup vous m'aidez énormément

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est la définition même de la factorielle :
On a \(1\times 2\times 3\times 4\times 5=5!\)
Donc si on rajoute le facteur \(6\), on a \(\underbrace{1\times 2\times 3\times 4\times 5}_{5!}\times 6=6!\)
Donc \(5!\times 6=6!\), \(6!\times 7=7!\), ...., \(n!\times (n+1)=(n+1)!\) et \((n+1)!\times (n+2)=(n+2)!\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

[louis]

On a donc \((\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1=\underbrace{(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+1}_{=(n+1)! \, (\mathcal{P}_n)}+(n+1)\times (n+1)!\)

Oui merci c'est bon pour ca, et juste pour ce que j'ai mis entre guillemets je ne comprends pas trop comment vous êtes arrivés à ca désolé...

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai utilisé la propriété \(\mathcal{P}_n\) qu'on suppose vraie au rang \(n\) : \((\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+1=(n+1)!\).
Bonne continuation

[louis]

Mais ce n'est pas égal à(n+1)! plutot ? merci

[sos-math(21)]

Oui, tu as raison, je suis allé un peu vite : je corrige mon message.
Bonne continuation

[louis]

On a donc \((\sum_{k=1}^{n+1}k\times k!) + 1=(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1

en fait j'ai vraiment du mal à comprendre comment on passe de ca à ca... merci beaucoup

[sos-math(21)]

Là encore, c'est la définition même d'une somme :
quand tu fais la somme des termes jusqu'au rang \(n+1\), c'est comme si tu faisais la somme des termes jusqu'au rang \(n\) à laquelle on rajoute le terme de rang \(n+1\). Pour une suite \((u_n)\) :
\(\sum_{k=1}^{n+1} u_k=\sum_{k=1}^n u_k+u_{n+1}\)
En effet,
\(\sum_{k=1}^{n+1} u_k=\underbrace{u_1+u_2+\ldots+u_n}_{\mathrm{somme\, des\,} n\,\mathrm{premiers\,termes}} +u_{n+1}=\sum_{k=1}^n u_k+u_{n+1}\).
Bonne continuation

[louis]

(\sum_{k=1}^{n}k\times k!)+(n+1)\times (n+1)!+1

je ne comprends pas ce à quoi correspond tout ca en fait

[sos-math(21)]

Reprends le fil depuis le début et réfléchis au sens de la notation \(\sum_{}^{}\).
J'ai déjà détaillé le passage de \(n\) à \(n+1\).
Bonne continuation