Bonjour à tous,
J’ai besoin d’aide sur mon grand oral de maths avec une limite et une égalité de deux fonctions à démontrer. Il faut montrer que le limite en + l’infini de x*sin(180/x) est égale à pi.
Puis il faut montrer que pour tout x appartenant à [-1;1], la fonction f(x)=2*[arcsin(sqrt(1-x^2))+abs(arcsin(x))] est égale à f(x)=pi.
Merci d’avance pour votre aide. Bonne journée.
Grand oral
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Thomas
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sos-math(21)
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Re: Grand oral
Bonjour,
une méthode pour répondre à la question est de dériver la fonction et montrer que cette dérivée est nulle, ce qui te permettra de conclure que la fonction est constante et il suffira de calculer l'image d'un nombre, par exemple \(f(0)\) pour trouver la valeur de cette constante.
Pour calculer cette dérivée, tu as besoin de savoir dérivée une composée de deux fonctions \(h=g\circ f\) qui se définit par \(h(x)=g(f(x))\).
La formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions est donnée par \(\left(g\circ f\right)'=f'\times g'\circ f\).
Cette formule te permet aussi de connaître la dérivée de la racine d'une fonction : \(\left(\sqrt{f}\right)'=\dfrac{f'}{2\sqrt{f}}\).
Mais avant tout calcul de dérivée, il faut se débarrasser de la valeur absolue car celle-ci n'est pas dérivable.
En fait, comme \(\arcsin(x)<0\) lorsque \(x<0\) et \(\arcsin(x)\geqslant 0\) lorsque \(x\geqslant >0\), on obtient les deux expression suivantes de \(f\) selon le signe de \(x\) :
Sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\). Cette fonction est dérivable et on a d'après la composée de deux fonctions et sachant que \(\left(\arcsin(x)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), on a :
\(f'(x)=2\left(\sqrt{1-x^2}\right)'\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
soit :
\(f'(x)=\dfrac{2\times (-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
Or on sait que \(\sqrt{x^2}=|x|\) et comme \(x\leqslant 0\), on a donc \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).
On a donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{-x}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=0\)
Finalement, on a montré que \(f'(x)=0\) sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\). De la même manière, on montrerait que \(f'(x)=0\) sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) donc que \(f\) est constante donc, pour tout réel \(x\in[-1\,;\,1]\) : \(f(x)=f(0)=2\arcsin(\sqrt{1-0^2})+|2\arcsin(0)|=2\times \dfrac{\pi}{2}+2\times 0=\pi\).
Pour la limite, on peut s'en sortir en considérant la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\sin(\pi x)\). Cette fonction est dérivable et on a \(g'(x)=\pi\cos(\pi x)\) donc \(g'(0)=\pi\).
Or le nombre \(g'(0)\) est aussi égal à la limite du taux d'accroissement de \(g\) au voisinage de \(0\) :
\(g'(0) =\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}\) soit \(g'(0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(\pi x)-0}{x-0}\) donc \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}=g'(0)=\pi\).
En faisant un changement de variable \(X=\dfrac{1}{x}\), on a alors :
\(\lim_{X\to +\infty}\dfrac{\sin(\pi \frac{1}{X})}{\frac{1}{X}}=\pi\) soit \(\lim_{X\to +\infty}X\sin\left( \dfrac{\pi}{X}\right)=\pi\)
Bonne continuation
une méthode pour répondre à la question est de dériver la fonction et montrer que cette dérivée est nulle, ce qui te permettra de conclure que la fonction est constante et il suffira de calculer l'image d'un nombre, par exemple \(f(0)\) pour trouver la valeur de cette constante.
Pour calculer cette dérivée, tu as besoin de savoir dérivée une composée de deux fonctions \(h=g\circ f\) qui se définit par \(h(x)=g(f(x))\).
La formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions est donnée par \(\left(g\circ f\right)'=f'\times g'\circ f\).
Cette formule te permet aussi de connaître la dérivée de la racine d'une fonction : \(\left(\sqrt{f}\right)'=\dfrac{f'}{2\sqrt{f}}\).
Mais avant tout calcul de dérivée, il faut se débarrasser de la valeur absolue car celle-ci n'est pas dérivable.
En fait, comme \(\arcsin(x)<0\) lorsque \(x<0\) et \(\arcsin(x)\geqslant 0\) lorsque \(x\geqslant >0\), on obtient les deux expression suivantes de \(f\) selon le signe de \(x\) :
- sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\)
- sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})+2\arcsin(x)\)
Sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\). Cette fonction est dérivable et on a d'après la composée de deux fonctions et sachant que \(\left(\arcsin(x)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), on a :
\(f'(x)=2\left(\sqrt{1-x^2}\right)'\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
soit :
\(f'(x)=\dfrac{2\times (-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
Or on sait que \(\sqrt{x^2}=|x|\) et comme \(x\leqslant 0\), on a donc \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).
On a donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{-x}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=0\)
Finalement, on a montré que \(f'(x)=0\) sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\). De la même manière, on montrerait que \(f'(x)=0\) sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) donc que \(f\) est constante donc, pour tout réel \(x\in[-1\,;\,1]\) : \(f(x)=f(0)=2\arcsin(\sqrt{1-0^2})+|2\arcsin(0)|=2\times \dfrac{\pi}{2}+2\times 0=\pi\).
Pour la limite, on peut s'en sortir en considérant la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\sin(\pi x)\). Cette fonction est dérivable et on a \(g'(x)=\pi\cos(\pi x)\) donc \(g'(0)=\pi\).
Or le nombre \(g'(0)\) est aussi égal à la limite du taux d'accroissement de \(g\) au voisinage de \(0\) :
\(g'(0) =\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}\) soit \(g'(0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(\pi x)-0}{x-0}\) donc \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}=g'(0)=\pi\).
En faisant un changement de variable \(X=\dfrac{1}{x}\), on a alors :
\(\lim_{X\to +\infty}\dfrac{\sin(\pi \frac{1}{X})}{\frac{1}{X}}=\pi\) soit \(\lim_{X\to +\infty}X\sin\left( \dfrac{\pi}{X}\right)=\pi\)
Bonne continuation