Bonjour,
une méthode pour répondre à la question est de dériver la fonction et montrer que cette dérivée est nulle, ce qui te permettra de conclure que la fonction est constante et il suffira de calculer l'image d'un nombre, par exemple \(f(0)\) pour trouver la valeur de cette constante.
Pour calculer cette dérivée, tu as besoin de savoir dérivée une composée de deux fonctions \(h=g\circ f\) qui se définit par \(h(x)=g(f(x))\).
La formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions est donnée par \(\left(g\circ f\right)'=f'\times g'\circ f\).
Cette formule te permet aussi de connaître la dérivée de la racine d'une fonction : \(\left(\sqrt{f}\right)'=\dfrac{f'}{2\sqrt{f}}\).
Mais avant tout calcul de dérivée, il faut se débarrasser de la valeur absolue car celle-ci n'est pas dérivable.
En fait, comme \(\arcsin(x)<0\) lorsque \(x<0\) et \(\arcsin(x)\geqslant 0\) lorsque \(x\geqslant >0\), on obtient les deux expression suivantes de \(f\) selon le signe de \(x\) :
- sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\)
- sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})+2\arcsin(x)\)
Je traite seulement le cas des négatifs, l'autre se traite de manière identique.
Sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\) : \(f(x)=2\arcsin(\sqrt{1-x^2})-2\arcsin(x)\). Cette fonction est dérivable et on a d'après la composée de deux fonctions et sachant que \(\left(\arcsin(x)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), on a :
\(f'(x)=2\left(\sqrt{1-x^2}\right)'\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
soit :
\(f'(x)=\dfrac{2\times (-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{\sqrt{x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
Or on sait que \(\sqrt{x^2}=|x|\) et comme \(x\leqslant 0\), on a donc \(\sqrt{x^2}=|x|=-x\).
On a donc :
\(f'(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\times \dfrac{1}{-x}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=0\)
Finalement, on a montré que \(f'(x)=0\) sur \(\left]-\infty\,;\,0\right]\). De la même manière, on montrerait que \(f'(x)=0\) sur \(\left[0\,;\,+\infty\right[\) donc que \(f\) est constante donc, pour tout réel \(x\in[-1\,;\,1]\) : \(f(x)=f(0)=2\arcsin(\sqrt{1-0^2})+|2\arcsin(0)|=2\times \dfrac{\pi}{2}+2\times 0=\pi\).
Bonne continuation