intégrales

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henry

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Message par henry » ven. 5 mai 2023 19:58

Bonjour, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît ? J’ai vraiment du mal avec cet exercice ! Soit (In) la suite définie sur N* par: int(1/x dx) sur [n;n+1]
1. Donner un encadrement de 1 /x sur [n; n + 1]
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
1/(n+1) =< In=< 1/n
3. En déduire la limite de la suite (In)
4. Retrouver le résultat précédent en calculant l-
J’ai notamment du mal avec la première question pour donner l’encadrement. Je pense que un divisé par X est compris entre zéro et un cependant cela est incompatible avec la question suivante, puisque cela donnerait zéro du côté gauche de l’inégalité, sinon j’aurais dit que un sur X est compris entre 1 /
(N+1) et 1/n ce qui m’empêcherait de faire la question d’après merci beaucoup pour votre aide. De plus je le comprends pas la question quatre que veut dire en calculant In ? Merci !
sos-math(21)
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Re: intégrales

Message par sos-math(21) » ven. 5 mai 2023 20:58

Bonjour,
la fonction inverse \(x\longmapsto \dfrac{1}{x}\) est une fonction décroissante sur tout intervalle \([n\,;\,n+1]\), avec \(n\in\mathbb{N}^*\).
Ainsi pour tout \(x\in[n\,;\,n+1]\), on a l'encadrement \(n\leqslant x\leqslant n+1\) puis en prenant les inverses des nombres dans cet encadrement, sachant que la fonction inverse est décroissante, cela renverse l'inégalité (\(a<b\) entraîne \(f(a)>f(b)\) :
ainsi \(\dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{n}\) : on a bien obtenu l'encadrement demandé.
Puis en passant à l'intégrale entre \(n\) et \(n+1\), par croissance de l'intégrale, on a :
\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}\text{d}x\)
Il te restera à calculer les intégrales à gauche et à droite pour obtenir l'encadrement de \(I_n\).
Bonne continuation
Henry

Re: intégrales

Message par Henry » sam. 6 mai 2023 09:18

Bonjour merci !

Cependant ils demande que 1/n+1 et1/n encadrent In et non 1/x c’est ce que j’ai du mal à comprendre ! En applicant les intégrales y’a du ln qui intervient donc je vois pas comment retrouver l’inégalité demandée 😅
sos-math(21)
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Re: intégrales

Message par sos-math(21) » sam. 6 mai 2023 09:23

Bonjour,
dans mon précédent message, je te disais qu'il fallait calculer les intégrales de gauche et de droite pour obtenir un encadrement de \(\displaystyle I_n=\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{d}x\). Tu as :
\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{d}x\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}\text{d}x\)
ce qui donne :
\(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x\leqslant I_n\leqslant \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}\text{d}x\)
Il faut donc bien calculer les deux intégrales de gauche et de droite : les fonctions à intégrer sont constantes donc leur intégrale est facile à calculer.
Bon calcul.
henry

Re: intégrales

Message par henry » sam. 6 mai 2023 17:43

Okkk merci , cela donnerait donc ln(n+1) ⩽ IN⩽ ln (n) non ? et là je bloque
sos-math(21)
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Re: intégrales

Message par sos-math(21) » sam. 6 mai 2023 18:14

Bonjour,
il n'y a pas de \(\dfrac{1}{x}\) dans tes intégrales de gauche et de droite donc il n'y a pas de \(\ln\).
Tes fonctions sont constantes :
Par exemple \(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x\). La fonction \(x\longmapsto \dfrac{1}{n+1}\) est constante donc elle admet pour primitive possible la fonction \(x\longmapsto\dfrac{1}{n+1}\times x\).
Ainsi, on a \(\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{d}x=\left[\dfrac{1}{n+1}\times x\right]_{n}^{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\times (n+1)-\dfrac{1}{n+1}\times n=1-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\).
Il te reste à faire la même chose dans l'autre membre.
Bonne continuation
henry

Re: intégrales

Message par henry » sam. 6 mai 2023 18:21

D'accord merci , j'ai compris cette question mais la question 4 j'ai du mal à la comprendre
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Re: intégrales

Message par sos-math(21) » sam. 6 mai 2023 18:26

Bonjour,
avec l'encadrement du 2, le théorème des gendarmes t'assure que \(\lim_{n\to+\infty}I_n=0\).
Puis si tu calcules l'intégrale, en cherchant une primitive, tu obtiendras la même limite.
\(I_n=\displaystyle \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{d}x=\left[\ldots\right]_{n}^{n+1}=\ldots\)
Bonne continuation
henry

Re: intégrales

Message par henry » sam. 6 mai 2023 18:38

Merci beaucoup vous me sauvez !!
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Re: intégrales

Message par sos-math(21) » sam. 6 mai 2023 19:16

Bonjour,
en espérant que cela te permette de conclure.
Bonne continuation
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