Bonjour,
dans le livre Option maths expertes collection Barbazo Hachette Education dont voici le lien pour y avoir accès :
mesmanuels.fr/4605772
on lit page 236 dans le paragraphe 2-étude asymptotique une propriété qui semble ne pas fonctionner quand P est une matrice de transition avec des 0 et même si P² par exemple a ses coefficients tous non nuls.
En effet, dans l'exercice résolu 2 page 235, je n'ai pas trouvé la matrice pi qui représente la distribution invariante du système. Elle semble ne pas exister alors qu'en appliquant la propriété du paragraphe 2 page 236, elle devrait exister car P² ne contient pas de 0.
Dans cette propriété, ne faudrait-il pas écrire que la condition suffisante d'existence de la distribution invariante du système, c'est d'avoir une matrice de transition P qui ne doit pas contenir de 0 ?
Merci pour votre éclairage !
C.
chaînes de Markov
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Cédric
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SoS-Math(25)
- Messages : 1850
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: chaînes de Markov
Bonjour,
Cette vidéo peut peut-être t'aider (vers 11 minutes):
https://www.youtube.com/watch?v=YW1m2l9TrCE
Il suffit d'une puissance de P pour laquelle la matrice P^k ne comporte pas de zéros.
A bientôt
Cette vidéo peut peut-être t'aider (vers 11 minutes):
https://www.youtube.com/watch?v=YW1m2l9TrCE
Il suffit d'une puissance de P pour laquelle la matrice P^k ne comporte pas de zéros.
A bientôt
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Cédric
Re: chaînes de Markov
Mais cela ne marche pas avec l'exercice 2 résolu page 235 .En effet, la matrice P² a tous ses termes non nuls et on cherchant la matrice pi telle que pi = pi * P je trouve pi = ( 0 0 0) ce qui n'est pas possible.
Merci de me dire où est mo, erreur !
Cédric
Merci de me dire où est mo, erreur !
Cédric
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SoS-Math(25)
- Messages : 1850
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: chaînes de Markov
Bonsoir,
En résolvant le système :
\(\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\
0.5 & 0 & 0.5\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}\)
On obtient les conditions x=3y et z=3b/2
En ajoutant x+y+z=1 on obtient x=6/11, y=2/11 et z=3/11.
On peut alors vérifier une distribution invariante :
\(\begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{3}{11}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\
0.5 & 0 & 0.5\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{3}{11}
\end{pmatrix} \)
Remarques :
-- Ici, le vecteur nul sera toujours solution (on a un système linéaire).
-- Il y a une infinité de solutions (tout vecteur colinéaire à \(\begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{3}{11}
\end{pmatrix} \))
J'espère t'avoir éclairé,
A bientôt
En résolvant le système :
\(\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\
0.5 & 0 & 0.5\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}\)
On obtient les conditions x=3y et z=3b/2
En ajoutant x+y+z=1 on obtient x=6/11, y=2/11 et z=3/11.
On peut alors vérifier une distribution invariante :
\(\begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{3}{11}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\
0.5 & 0 & 0.5\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{3}{11}
\end{pmatrix} \)
Remarques :
-- Ici, le vecteur nul sera toujours solution (on a un système linéaire).
-- Il y a une infinité de solutions (tout vecteur colinéaire à \(\begin{pmatrix}
\dfrac{6}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{3}{11}
\end{pmatrix} \))
J'espère t'avoir éclairé,
A bientôt
-
Cédric
Re: chaînes de Markov
Bonjour,
oui, merci beaucoup, tout est parfaitement clair !
J'avais oublié la condition fondamentale : x+y+z=1 et merci aussi pour la vidéo très explicite !
Bonne journée !
Cédric
oui, merci beaucoup, tout est parfaitement clair !
J'avais oublié la condition fondamentale : x+y+z=1 et merci aussi pour la vidéo très explicite !
Bonne journée !
Cédric