convergence d'une série

[soy]

Bonjour
Pourriez vous m'aider SVP pour cet exercice (qui n'est pas de niveau terminal)
Soit la série \(S_{n}=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{x^{n-1}}{n+3^{n}}}\)
Montrer que pour que cette série soit convergente il faut que \(x\in[-3;3[\)

en appliquant le critère de d'alembert j'ai trouvé qu'elle est convergente sur l'intervalle ouvert \([-3;3[\)
pour la valeur 3 : puisque la limite du terme général n'est pass 0 alors la série diverge en 3
mais pour -3 là je bloque je ne sais pas comment prouver qu'elle est convergente en -3 surtout ça devient une série alternée .
Merci pour vos réponses

[SoS-Math(31)]

Bonjour Soy,
En x = - 3
on a un = (-1)^(n+1) * 3 ^(n + 1) / (n + 3^n) = (-1) ^(n+1) * 3 / (n/3^n + 1). En partageant les n pair n = 2k et n impair n = 2k + 1 on obtient une somme sur k , de k = 0 à A de 3/(1 + 2k*/3^(2k)) - 3 / ( 1 + (2k+1) / 3^(2k+1)) . Faire tendre A vers + infini.

[soy]

Salut
Vous vouliez dire n-1 et non pas n+1, d'accord merci pour l'idée d'utiliser la parité de n qui nous permet d'avoir une somme de 2 séries mais à la fin je n'ai pas compris comment peut-on déduire qu'elle converge ?
Merci

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

C'est étrange en effet. Pour \(x=-3\)

\(|u_n| = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{\frac{n}{3^n}+1}\) non ? Qui ne tend pas vers 0...

C'est peut-être du français :

Montrer que pour que cette série soit convergente il faut que \(x\in[-3;3[\)

Ensuite, j'ai un doute sur l'existence de cette série pour \(x=0\). La somme ne commence-t-elle pas à n=1 ?

A bientôt

[soy]

Bonjour
Oui en effet la serie ne peut pas converge en x=-3 puisque la limite de son terme general ne tend pas vers 0 comme vous l'avez mentionné mais je crois bien qu'elle converge pour x=0 puisque elle vérifie la règle de d'alambert, n'est ce pas?

[SoS-Math(25)]

Essaye d'écrire le premier terme de la somme pour x = 0 (et n=0)

A bientôt

[soy]

Bonjour
Ah oui vous avez raison le numérateur pose un gros problème dans ce cas ! Mais pourtant d'Alembert nous confirme (il me semble) que y a bien une convergence en x=0 !
Merci pour cette précieuse remarque mais comment l'expliquer ?
Encore une fois merci

[soy]

Bonjour,
je crois que j'ai trouvé l'explication. En fait la condition pour appliquer d'Alembert est que la suite qui est définie par son terme général ne s'annule pas à partir d'un certain rang or là elle est carrément nulle et ça sans parler du cas précis que vous avez remarqué. Finalement c'est trop erroné cet exercice ou peut-être un piège !
Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Soy,

Je suis d'accord pour le critère il suffit que cela soit vraie à partir d'un certain rang.
Par contre le série n'est pas définie pour x = 0 ... en effet \(x^{n-1}= x^n \times \frac{1}{x}\) donc elle ne converge pas pour x = 0.

SoSMath.

[soy]

Bonjour
D'accord. Merci pour vos réponses vous êtes les meilleurs