Bonjour
Vous devez commencer à me détester avec mes questions de maths/éco, mais cette fois-ci, surprise : j'ai une question avec uniquement des maths, en français, et une question courte !
La voici : https://www.cjoint.com/data/MBnrUoJgyvO ... sation.png
Comment trouver la condition du premier ordre qui est donnée ?
Merci bvcp ! bonnee soirée.
Un seul calcul
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Pareil
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SoS-Math(25)
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Re: Un seul calcul
Bonjour,
En dérivant la fonction : \(T\longmapsto\dfrac{X}{T}\left(\dfrac{P}{R}(e^R-e^{-RT})-f\right)\), une condition du premier ordre pour la recherche d'un extremum local peut être donnée par le fait que cette dérivée s'annule.
En effectuant quelques manipulations, on trouve bien la condition demandée.
Bon courage
En dérivant la fonction : \(T\longmapsto\dfrac{X}{T}\left(\dfrac{P}{R}(e^R-e^{-RT})-f\right)\), une condition du premier ordre pour la recherche d'un extremum local peut être donnée par le fait que cette dérivée s'annule.
En effectuant quelques manipulations, on trouve bien la condition demandée.
Bon courage
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idem
Re: Un seul calcul
bonjour,
merci du message
malheureusement, ça fait depuis 11h30 que je cherche, et pas moyen de trouver la solution...
Comment avez-vous fait ?
merci, bon appétit.
merci du message
malheureusement, ça fait depuis 11h30 que je cherche, et pas moyen de trouver la solution...
Comment avez-vous fait ?
merci, bon appétit.
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SoS-Math(25)
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Re: Un seul calcul
Le contexte manque là aussi de précisions (intervalle de définition, conditions aux bornes...) mais j'ai supposé que R, P, X et f étaient indépendants de T.
Commence, comme indiqué, par dériver la fonction : \(T\longmapsto\dfrac{X}{T}\left(\dfrac{P}{R}(e^R-e^{-RT})-f\right)\)
Ou encore la fonction \(h(t)=\dfrac{X}{t}\left(\dfrac{P}{R}(e^R-e^{-Rt})-f\right)\), c'est pareil.
Bon courage
Commence, comme indiqué, par dériver la fonction : \(T\longmapsto\dfrac{X}{T}\left(\dfrac{P}{R}(e^R-e^{-RT})-f\right)\)
Ou encore la fonction \(h(t)=\dfrac{X}{t}\left(\dfrac{P}{R}(e^R-e^{-Rt})-f\right)\), c'est pareil.
Bon courage
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idemm
Re: Un seul calcul
ok merci, j'ai trouvé ça en dérivant : https://www.cjoint.com/data/MBomDnVKTfO ... tionnn.png
Est-ce que ce résultat est correct ? il me semble bien compliqué, j'ai peut être fait une erreur mais j'ai refait le calcul plusieurs fois et je vois pas où.
Maintenant, comment continuer si le résultat est correct ? Je suis bloquée....
merciu, bon apresmidi
Est-ce que ce résultat est correct ? il me semble bien compliqué, j'ai peut être fait une erreur mais j'ai refait le calcul plusieurs fois et je vois pas où.
Maintenant, comment continuer si le résultat est correct ? Je suis bloquée....
merciu, bon apresmidi
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SoS-Math(25)
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Re: Un seul calcul
Cela me semble correct.
La factorisation au numérateur par \(e^{-RT}\) n'est pas le chemin le plus facile mais ok.
Ensuite, une condition d'ordre un pour avoir un extremum local en T serait que la dérivée s'annule en T.
On cherche donc à résoudre h'(t) = 0
Il faut donc que le numérateur s'annule.
En t'inspirant de la condition à obtenir, il faut manipuler l'égalité :
\(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT} = 0\)
\(\Leftrightarrow \quad PRT-P(e^{RT+R}-1) = -Rfe^{RT}\)
Je te laisse finir en multipliant par \(\dfrac{e^{-RT}}{P}\)
A bientôt
La factorisation au numérateur par \(e^{-RT}\) n'est pas le chemin le plus facile mais ok.
Ensuite, une condition d'ordre un pour avoir un extremum local en T serait que la dérivée s'annule en T.
On cherche donc à résoudre h'(t) = 0
Il faut donc que le numérateur s'annule.
En t'inspirant de la condition à obtenir, il faut manipuler l'égalité :
\(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT} = 0\)
\(\Leftrightarrow \quad PRT-P(e^{RT+R}-1) = -Rfe^{RT}\)
Je te laisse finir en multipliant par \(\dfrac{e^{-RT}}{P}\)
A bientôt
-
SoS-Math(25)
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Re: Un seul calcul
Ce n'est pas très confortable d'étudier ce genre de problème d'optimisation avec un contexte aussi flou.
Ici, nous n'avons qu'une condition pour une tangente horizontale. La recherche d'un maximum nécessite une analyse plus poussée (Quel intervalle d'étude ?, que se passe-t-il aux bornes ? est-ce un minimum ? un maximum ? ni l'un ni l'autre...)
A bientôt
Ici, nous n'avons qu'une condition pour une tangente horizontale. La recherche d'un maximum nécessite une analyse plus poussée (Quel intervalle d'étude ?, que se passe-t-il aux bornes ? est-ce un minimum ? un maximum ? ni l'un ni l'autre...)
A bientôt
-
Idem
Re: Un seul calcul
Merci de la réponse.
Mais je ne suis pas sur d'avoir bien compris : comment obtenir l'égalité de l'énoncé à partir de l'expression de la dérivée que j'ai trouvée ?
Pourriez-vous détailler le calcul svp ?
Merci bcp
Mais je ne suis pas sur d'avoir bien compris : comment obtenir l'égalité de l'énoncé à partir de l'expression de la dérivée que j'ai trouvée ?
Pourriez-vous détailler le calcul svp ?
Merci bcp
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SoS-Math(25)
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Re: Un seul calcul
Comme indiqué, on cherche une tangente horizontale par le fait que la dérivée s'annule.
Bon courageSoS-Math(25) a écrit :
En t'inspirant de la condition à obtenir, il faut manipuler l'égalité :
\(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT} = 0\)
\(\Leftrightarrow \quad PRT-P(e^{RT+R}-1) = -Rfe^{RT}\)
Je te laisse finir en multipliant par \(\dfrac{e^{-RT}}{P}\)
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Idem
Re: Un seul calcul
Merci beaucoup, mais d'où provient cette première égalité ?
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SoS-Math(25)
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- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: Un seul calcul
Tu as calculé la dérivée donc il faut rechercher à quel moment cette dérivée s'annule. On obtient une équation ...idemm a écrit : ↑mar. 14 févr. 2023 13:30ok merci, j'ai trouvé ça en dérivant : https://www.cjoint.com/data/MBomDnVKTfO ... tionnn.png
Est-ce que ce résultat est correct ? il me semble bien compliqué, j'ai peut être fait une erreur mais j'ai refait le calcul plusieurs fois et je vois pas où.
Maintenant, comment continuer si le résultat est correct ? Je suis bloquée....
merciu, bon apresmidi
Bon courage
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pareilldll
Re: Un seul calcul
je suis désolée, j'ai repris tout ça cette nuit, mais je ne vois vraiment pas où, vous voulez en venir....
Est-ce que vous pourriez récapituler le raisonnement de la démonstration svp ?
Désolée encore d'être si nulle..... Mais je suis tellement épuisée aussi;;... Je suis débordée, sous l'eau !
Bon courage, bonne journée à vous.
Est-ce que vous pourriez récapituler le raisonnement de la démonstration svp ?
Désolée encore d'être si nulle..... Mais je suis tellement épuisée aussi;;... Je suis débordée, sous l'eau !
Bon courage, bonne journée à vous.
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SoS-Math(25)
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Re: Un seul calcul
Bonjour,
D'un point de vu mathématiques, la recherche d'un éventuel maximum à une fonction donnée nécessite beaucoup plus de considérations et d'étude que la seule question de ton exercice (la fonction est-elle dérivable ? sur quel intervalle ? Cherche-t-on simplement un maximum local ? ou global ?...)
Bref, dans ton cas, j'ai l'impression que l'on ne se souci pas de toutes ces questions ce qui rend pour moi, professeur de maths, cette explication assez pénible car elle va manquer cruellement de rigueur.
Bref, pour une fonction "gentille", on peut rechercher un maximum (ou un minimum) en commençant par chercher les "moments" (abscisses) pour lesquels la tangente à la courbe est horizontale. Voir le graphique :
Sur ce graphique, à l'abscisse -1, on voit que la tangente rouge est horizontale (donc la dérivée est nulle) ce qui peut éventuellement caractériser un maximum local (mais il faut plus que cela pour avoir un maximum... par exemple, on a le même phénomène à l'abscisse 1 mais ce l'est pas un maximum... et j'en passe...)
Bref, On cherche donc, dans ton exercice, des moments T où la dérivée s'annule (tangente horizontale).
C'est pourquoi :
1) On dérive (ce que tu as fait)
2) On résout l'équation : "dérivée = 0"
En résolvant cette équation, on obtient la condition d'ordre 1 demandée. "D'ordre 1" signifie ici "en dérivant une fois" ou "en regardant la dérivée"...
Tu as donc ceci :
\(\dfrac{Xe^{-RT}\left(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT}\right)}{RT^2} = 0\) à "résoudre" ou plutôt à manipuler pour obtenir la condition demandée.
Là encore je vais manquer de rigueur... Pour que ce rapport soit nul, il faut que le numérateur soit nul :
\(Xe^{-RT}\left(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT}\right) = 0\)
J'imagine que X est non nul et puisque l'exponentiel ne s'annule pas, il faut :
\(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT} = 0\)
Ensuite, il faut travailler cette égalité pour arriver au résultat demandé. Tu peux commencer comme cela :
\(\Leftrightarrow \quad PRT-P(e^{RT+R}-1) = -Rfe^{RT}\)
Ensuite, je te l'ai déjà dit :
D'un point de vu mathématiques, la recherche d'un éventuel maximum à une fonction donnée nécessite beaucoup plus de considérations et d'étude que la seule question de ton exercice (la fonction est-elle dérivable ? sur quel intervalle ? Cherche-t-on simplement un maximum local ? ou global ?...)
Bref, dans ton cas, j'ai l'impression que l'on ne se souci pas de toutes ces questions ce qui rend pour moi, professeur de maths, cette explication assez pénible car elle va manquer cruellement de rigueur.
Bref, pour une fonction "gentille", on peut rechercher un maximum (ou un minimum) en commençant par chercher les "moments" (abscisses) pour lesquels la tangente à la courbe est horizontale. Voir le graphique :
Bref, On cherche donc, dans ton exercice, des moments T où la dérivée s'annule (tangente horizontale).
C'est pourquoi :
1) On dérive (ce que tu as fait)
2) On résout l'équation : "dérivée = 0"
En résolvant cette équation, on obtient la condition d'ordre 1 demandée. "D'ordre 1" signifie ici "en dérivant une fois" ou "en regardant la dérivée"...
Tu as donc ceci :
\(\dfrac{Xe^{-RT}\left(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT}\right)}{RT^2} = 0\) à "résoudre" ou plutôt à manipuler pour obtenir la condition demandée.
Là encore je vais manquer de rigueur... Pour que ce rapport soit nul, il faut que le numérateur soit nul :
\(Xe^{-RT}\left(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT}\right) = 0\)
J'imagine que X est non nul et puisque l'exponentiel ne s'annule pas, il faut :
\(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT} = 0\)
Ensuite, il faut travailler cette égalité pour arriver au résultat demandé. Tu peux commencer comme cela :
\(\Leftrightarrow \quad PRT-P(e^{RT+R}-1) = -Rfe^{RT}\)
Ensuite, je te l'ai déjà dit :
Bon courageSoS-Math(25) a écrit :
En t'inspirant de la condition à obtenir, il faut manipuler l'égalité :
\(PRT-P(e^{RT+R}-1)+Rfe^{RT} = 0\)
\(\Leftrightarrow \quad PRT-P(e^{RT+R}-1) = -Rfe^{RT}\)
Je te laisse finir en multipliant par \(\dfrac{e^{-RT}}{P}\)
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Iidemm.
Re: Un seul calcul
Merci énormément pour toutes ces explications !!!
C'est tellement plus clair maintenant. Par contre je n'arrive pas à manipuler la dernière égalité que vous avez écrite pour trouver la condition de premier ordre, je ne vois pas trop par où aller. Malheureusement je nai pas trop d'intuition.
Est-ce que vous pourriez me guider un peu pour trouver la suite de la démonstration et arriver ensuite à la Condition de premier ordre ?
Merci bien !!
C'est tellement plus clair maintenant. Par contre je n'arrive pas à manipuler la dernière égalité que vous avez écrite pour trouver la condition de premier ordre, je ne vois pas trop par où aller. Malheureusement je nai pas trop d'intuition.
Est-ce que vous pourriez me guider un peu pour trouver la suite de la démonstration et arriver ensuite à la Condition de premier ordre ?
Merci bien !!
-
SoS-Math(31)
- Messages : 1360
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: Un seul calcul
Bonjour,
Tu part
PRT−P(\(e^{RT+R}\)−1)=−Rf \( e^{RT} \)
avec p non nul
Tu divises par P de chaque côté, tu obtients
RT−(\(e^{RT+R}\)−1)=−\(\frac{R}{P}\)f \( e^{RT} \)
donc RT−\(e^{RT+R}\) +1=−\(\frac{R}{P}\)f \( e^{RT} \) (*)
Il faut savoir que \(e^{a} e^{b} \) = \(e^{a+b} \) donc \(e^{RT} e^{-RT} \) = \(e^{0} \) = 1
Alors en multipliant (*) par \( e^{-RT} \) , on trouve
RT \( e^{-RT} \) −\(e^{R}\) + \( e^{-RT} \) =−\(\frac{R}{P}\)f
On passe le \( e^{R} \) de gauche dans le membre de droite
RT \( e^{-RT} \) +\(e^{-RT}\) = \( e^{R} \) -\(\frac{R}{P}\)f
On met \( e^{-RT} \) en facteur dans le membre de gauche
\( e^{-RT} \)( RT + 1 ) = \( e^{R} \) -\(\frac{R}{P}\)f
Tu part
PRT−P(\(e^{RT+R}\)−1)=−Rf \( e^{RT} \)
avec p non nul
Tu divises par P de chaque côté, tu obtients
RT−(\(e^{RT+R}\)−1)=−\(\frac{R}{P}\)f \( e^{RT} \)
donc RT−\(e^{RT+R}\) +1=−\(\frac{R}{P}\)f \( e^{RT} \) (*)
Il faut savoir que \(e^{a} e^{b} \) = \(e^{a+b} \) donc \(e^{RT} e^{-RT} \) = \(e^{0} \) = 1
Alors en multipliant (*) par \( e^{-RT} \) , on trouve
RT \( e^{-RT} \) −\(e^{R}\) + \( e^{-RT} \) =−\(\frac{R}{P}\)f
On passe le \( e^{R} \) de gauche dans le membre de droite
RT \( e^{-RT} \) +\(e^{-RT}\) = \( e^{R} \) -\(\frac{R}{P}\)f
On met \( e^{-RT} \) en facteur dans le membre de gauche
\( e^{-RT} \)( RT + 1 ) = \( e^{R} \) -\(\frac{R}{P}\)f