Une question

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idem

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Message par idem » jeu. 19 janv. 2023 14:05

Hello !

Alors tout d'abord message aux modérateurs : pas besoin de lire tout l'exo du lien ci dessous pour répondre à cette question de maths.

Du coup, j'ai cette fonction X : X = pq - wL - vE et je veux que dX/dL=0, soit pq - w - vE = 0 (à l'optimalité on a ça).

Comment faire le lien avec les conditions d'optimalité décrites questions c ici ? Comment montrer qu'on a ces conditions là à partir de pq - w - vE = 0 ?
https://www.cjoint.com/data/MAnv7iOV5Oy_exodemaths.png

MERCiiii
SoS-Math(35)
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Re: Une question

Message par SoS-Math(35) » jeu. 19 janv. 2023 15:56

Bonjour,

il semblerait que tu aies répondu à la question 1 ) et que tu as trouvé le bénéfice.
Pour la question 2) il faut dériver ce bénéfice par rapport à q ( quantité ) pour trouver la maximalité et non par rapport à L.

Bon courage,

Sos math
pareil

Re: Une question

Message par pareil » jeu. 19 janv. 2023 16:00

ok, donc si on dérive par rapport à q, on a : p - wL-vE.

Et on voudrait que p - wL-vE = 0.

Maintenant, comment trouver ce qui est écrit à la question c avec cette égalité ?

merci à nouveau !
sos-math(21)
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Re: Une question

Message par sos-math(21) » ven. 20 janv. 2023 09:37

Bonjour,
ton problème est un problème d'optimisation sous contrainte utilisant le lagrangien.
On doit optimiser la fonction de profit énergétique \(f(L,E)=sE-vE\) où \(s\) est le taux de rendement énergétique et \(v\) le prix nominal de l'énergie, sous la contrainte que \(\bar{s}-s>0\), soit \((\bar{s}-s)E>0\) en considérant les charges énergétiques.
Avec la théorie des lagrangiens, cela revient à optimiser la fonction \(G(L,E,\lambda)=sE-vE+\lambda((\bar{s}-s)E)\) (je ne suis pas sûr de ma fonction...)
Sachant que \(sE=pq-wL\), on a \(G(L,E,\lambda)= pq-wL-vE+\lambda(\bar{s}E-pq+wL)\)
On calcule donc les dérivées partielles selon les trois variables, celles-ci doivent valoir 0, car on recherche un extremum.
On a donc
\(\left\lbrace\begin{array}{l}
\dfrac{\partial G}{\partial L}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial L}-w-\lambda p \dfrac{\partial q}{\partial L}+\color{red}{\lambda w}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial L}=w \,\text{voir explications plus bas : erreur de calcul corrigée }\\
\dfrac{\partial G}{\partial E}=0\,\Longleftrightarrow \,p\dfrac{\partial q}{\partial E}-v+\lambda\bar{s}-\lambda p\dfrac{\partial q}{\partial E}=0\\
\dfrac{\partial G}{\partial \lambda}=0\Longleftrightarrow\, \bar{s}=s\\
\end{array}\right.\)

la deuxième équation s'arrange un peu :

\(p\dfrac{\partial q}{\partial E}(1-\lambda)-v(1-\lambda)-\lambda v+\lambda\bar{s}=0\)
soit
\(p\dfrac{\partial q}{\partial E}(1-\lambda)-v(1-\lambda)+\lambda (\bar{s}-v)=0\)
soit en passant dans l'autre membre et en divisant par \((1-\lambda)\),
on a bien \(p\dfrac{\partial q}{\partial E}=v-\dfrac{\lambda}{1-\lambda}(\bar{s}-v)\)
Cela fonctionnerait presque si je n'avais pas un souci sur la première dérivée partielle : peut-être ai-je une erreur dans ma fonction à optimiser.correction détaillée en dessous
Je te laisse étudier cela, tu devrais au moins retrouver des éléments connus.
Bonne continuation
idempareil

Re: Une question

Message par idempareil » sam. 21 janv. 2023 20:23

merci de la réponse !

J'ai étudié ce que vous avez écrit aujourd'hui... mais je ne vois vraiment pas où pourrait se situer une éventuelle erreur.
Pour moi votre fonction est correcte.

Est ce que vous pensez que ça pourrait être une erreur d'énoncé ? ou est ce que on pourrait avoir ce qui est dans l'énoncé avec une autre fonction ? Si oui laquelle ?

Merci bien..
SoS-Math(33)
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Re: Une question

Message par SoS-Math(33) » sam. 21 janv. 2023 21:15

Bonjour,
je prends le sujet en cours et je ne suis pas sur mais dans la première dérivée partielle il ne manquerait pas \(\lambda \omega\),

\(\dfrac{\partial G}{\partial L} = \dfrac{\partial (pq-\omega L-vE+\lambda \overline{s}E-\lambda pq+\lambda \omega L)}{\partial L}\)
\(= p\dfrac{\partial q}{\partial L}-\omega -\lambda p\dfrac{\partial q}{\partial L}+\lambda \omega \)
\(= (p-\lambda p)\dfrac{\partial q}{\partial L}-\omega +\lambda \omega \)
\(= p(1-\lambda )\dfrac{\partial q}{\partial L}-\omega(1-\lambda) \)
Ainsi :
\(\dfrac{\partial G}{\partial L} = 0 \iff p(1-\lambda )\dfrac{\partial q}{\partial L}-\omega(1-\lambda)=0 \iff p(1-\lambda )\dfrac{\partial q}{\partial L}=\omega(1-\lambda) \iff p\dfrac{\partial q}{\partial L}=\dfrac{\omega(1-\lambda)}{(1-\lambda )} \iff p\dfrac{\partial q}{\partial L}=\omega\)

Ce serait pas ça le calcul de la dérivée partielle ?
SoS-math
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Re: Une question

Message par sos-math(21) » sam. 21 janv. 2023 21:26

Bonjour
Merci à sos math(33) qui a trouvé mon erreur dans la dérivée partielle : j’avais effectivement oublié un coefficient.
Cependant il subsiste un souci lors de la simplification par \(1-\lambda\) qu’il faut supposer non nul
Or par la suite on envisage le cas \(\lambda = 1\) qu’il faut interpréter.
Je ne pense pas que cela soit un problème mais il faut que tu sois capable d’en fournir une interprétation économique.
Sinon cette histoire de Lagrangien cela évoque quelque chose pour toi ?
Bonne continuation
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