SOS-MATH

Bonsoir,

Comment résoudre l'inéquation : somme (sigma) de 1 à n de 1/(1+0,02)^n >= 50000/13402 ?

Je dois trouver n, mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre....

Merci !

Bonjour,
on parle bien de la somme \(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(1+0,02)^k}\) ?
Dans ce cas, cette somme est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{1,02}\).
Tu dois avoir une formule dans ton cours qui te donne une expression de cette somme en fonction de \(n\).
Ensuite pour résoudre l'inéquation demandée avec des techniques mathématiques exactes, il faut recourir au logarithme.
Si tu ne connais pas le logarithme, la recherche pourra se faire par tâtonnements.
Bonne continuation

oui c'est cette somme !

par contre je suis dans le supérieur, et toutes ces formules de suite remontent à loin...

Pourriez-vous détailler svp ?

Bonjour,
si tu es dans le supérieur, tu devrais t'en rappeler, elles sont toujours d'actualité et te serviront toujours.
Pour une suite géométrique \((v_n)\) de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\neq 1\) :
\(v_0+v_1+\ldots+v_n=\sum_{k=0}^{n}v_k=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Je te laisse l'appliquer dans ton cas. Ensuite, il faudra isoler le terme contenant la puissance de \(n\) puis passer au logarithme pour faire redescendre l'exposant et l'isoler.
Bon calcul

ok, merci j'essaye de faire le calcul et je vous dis !!

Très bien,
on fait comme cela.

Bon, je galère depûis 30 minutes, je n'y arrive vraiment pas....

Pourriez vous me secourir svp ?

Il suffit d'appliquer la formule :
\(1+\dfrac{1}{1,02}+\dfrac{1}{1,02^2}+\ldots+\dfrac{1}{1,02^n}=\dfrac{1-\frac{1}{1,02^{n+1}}}{1-\frac{1}{1,02}}=\dfrac{102}{2}\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\)
Ensuite pour résoudre ton inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
Il te reste ensuite à diviser par \(51\), à passer le 1 dans l'autre membre, à multiplier par \(-1\), à prendre l'inverse de chaque membre, puis à prendre le logarithme de chaque membre puis à diviser par un certain nombre....
Il y a pas mal d'étapes mais on y arrive.
Je te laisse faire

oula, ça fait bien longtemps que je n'ai pas fait ce genre de calcul !

et quand on prend l'inverse, je dois inverser le sens de l'inégalité, c'est bien ça ?

Oui, c'est cela. Il faut aussi inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie par \(-1\).
Tu n'es donc pas dans une formation scientifique ? Dans quel cadre te demande-t-on ce genre de calcul ?
Bonne continuation

bon, j'y ai passé toute la journée d'hier, mais je m'embrouille avec les changements de signe etc...

Auriez vous une correction ?

Meric bian.

Bonjour,
si on reprend l'inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
On divise par 51, on a \(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant\dfrac{25000}{341\,751}\)
En passant le 1 de l'autre côté on a :
\(-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant-\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Soit en multipliant par \(-1\) :
\(\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\leqslant\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Ensuite en passant à l'inverse dans les deux membres de l'inéquation sachant que la fonction inverse est décroissante du \(]0\,;\,+\infty[\) :
\(1,02^{n+1}\geqslant \dfrac{341\,751}{316\,751}\)
Puis en passant aux logarithmes dans les deux membres de l'inéquation, sachant que la fonction logarithme népérien est croissante du \(]0\,;\,+\infty[\) et que \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) :
\((n+1)\ln(1,02)\geqslant \ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)\)
On a alors en divisant par \(\ln(1,02)\) et en soustrayant 1 :
\(n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)}{\ln(1,02)}-1\)
soit \(n\geqslant 2,836\) donc \(n\geqslant 3\) car \(n\) est entier.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation