Bonsoir,
Comment résoudre l'inéquation : somme (sigma) de 1 à n de 1/(1+0,02)^n >= 50000/13402 ?
Je dois trouver n, mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre....
Merci !
Calcul
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Bonjour,
on parle bien de la somme \(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(1+0,02)^k}\) ?
Dans ce cas, cette somme est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{1,02}\).
Tu dois avoir une formule dans ton cours qui te donne une expression de cette somme en fonction de \(n\).
Ensuite pour résoudre l'inéquation demandée avec des techniques mathématiques exactes, il faut recourir au logarithme.
Si tu ne connais pas le logarithme, la recherche pourra se faire par tâtonnements.
Bonne continuation
on parle bien de la somme \(\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(1+0,02)^k}\) ?
Dans ce cas, cette somme est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{1,02}\).
Tu dois avoir une formule dans ton cours qui te donne une expression de cette somme en fonction de \(n\).
Ensuite pour résoudre l'inéquation demandée avec des techniques mathématiques exactes, il faut recourir au logarithme.
Si tu ne connais pas le logarithme, la recherche pourra se faire par tâtonnements.
Bonne continuation
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Marionn
Re: Calcul
oui c'est cette somme !
par contre je suis dans le supérieur, et toutes ces formules de suite remontent à loin...
Pourriez-vous détailler svp ?
par contre je suis dans le supérieur, et toutes ces formules de suite remontent à loin...
Pourriez-vous détailler svp ?
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Bonjour,
si tu es dans le supérieur, tu devrais t'en rappeler, elles sont toujours d'actualité et te serviront toujours.
Pour une suite géométrique \((v_n)\) de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\neq 1\) :
\(v_0+v_1+\ldots+v_n=\sum_{k=0}^{n}v_k=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Je te laisse l'appliquer dans ton cas. Ensuite, il faudra isoler le terme contenant la puissance de \(n\) puis passer au logarithme pour faire redescendre l'exposant et l'isoler.
Bon calcul
si tu es dans le supérieur, tu devrais t'en rappeler, elles sont toujours d'actualité et te serviront toujours.
Pour une suite géométrique \((v_n)\) de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\neq 1\) :
\(v_0+v_1+\ldots+v_n=\sum_{k=0}^{n}v_k=v_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Je te laisse l'appliquer dans ton cas. Ensuite, il faudra isoler le terme contenant la puissance de \(n\) puis passer au logarithme pour faire redescendre l'exposant et l'isoler.
Bon calcul
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Mariodeprvr
Re: Calcul
ok, merci j'essaye de faire le calcul et je vous dis !!
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Très bien,
on fait comme cela.
on fait comme cela.
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mariok
Re: Calcul
Bon, je galère depûis 30 minutes, je n'y arrive vraiment pas....
Pourriez vous me secourir svp ?
Pourriez vous me secourir svp ?
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Il suffit d'appliquer la formule :
\(1+\dfrac{1}{1,02}+\dfrac{1}{1,02^2}+\ldots+\dfrac{1}{1,02^n}=\dfrac{1-\frac{1}{1,02^{n+1}}}{1-\frac{1}{1,02}}=\dfrac{102}{2}\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\)
Ensuite pour résoudre ton inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
Il te reste ensuite à diviser par \(51\), à passer le 1 dans l'autre membre, à multiplier par \(-1\), à prendre l'inverse de chaque membre, puis à prendre le logarithme de chaque membre puis à diviser par un certain nombre....
Il y a pas mal d'étapes mais on y arrive.
Je te laisse faire
\(1+\dfrac{1}{1,02}+\dfrac{1}{1,02^2}+\ldots+\dfrac{1}{1,02^n}=\dfrac{1-\frac{1}{1,02^{n+1}}}{1-\frac{1}{1,02}}=\dfrac{102}{2}\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\)
Ensuite pour résoudre ton inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
Il te reste ensuite à diviser par \(51\), à passer le 1 dans l'autre membre, à multiplier par \(-1\), à prendre l'inverse de chaque membre, puis à prendre le logarithme de chaque membre puis à diviser par un certain nombre....
Il y a pas mal d'étapes mais on y arrive.
Je te laisse faire
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marionie
Re: Calcul
oula, ça fait bien longtemps que je n'ai pas fait ce genre de calcul !
et quand on prend l'inverse, je dois inverser le sens de l'inégalité, c'est bien ça ?
et quand on prend l'inverse, je dois inverser le sens de l'inégalité, c'est bien ça ?
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Oui, c'est cela. Il faut aussi inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie par \(-1\).
Tu n'es donc pas dans une formation scientifique ? Dans quel cadre te demande-t-on ce genre de calcul ?
Bonne continuation
Tu n'es donc pas dans une formation scientifique ? Dans quel cadre te demande-t-on ce genre de calcul ?
Bonne continuation
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Marionpsl
Re: Calcul
bon, j'y ai passé toute la journée d'hier, mais je m'embrouille avec les changements de signe etc...
Auriez vous une correction ?
Meric bian.
Auriez vous une correction ?
Meric bian.
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sos-math(21)
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Re: Calcul
Bonjour,
si on reprend l'inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
On divise par 51, on a \(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant\dfrac{25000}{341\,751}\)
En passant le 1 de l'autre côté on a :
\(-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant-\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Soit en multipliant par \(-1\) :
\(\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\leqslant\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Ensuite en passant à l'inverse dans les deux membres de l'inéquation sachant que la fonction inverse est décroissante du \(]0\,;\,+\infty[\) :
\(1,02^{n+1}\geqslant \dfrac{341\,751}{316\,751}\)
Puis en passant aux logarithmes dans les deux membres de l'inéquation, sachant que la fonction logarithme népérien est croissante du \(]0\,;\,+\infty[\) et que \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) :
\((n+1)\ln(1,02)\geqslant \ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)\)
On a alors en divisant par \(\ln(1,02)\) et en soustrayant 1 :
\(n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)}{\ln(1,02)}-1\)
soit \(n\geqslant 2,836\) donc \(n\geqslant 3\) car \(n\) est entier.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
si on reprend l'inéquation : \(51\left(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\right)\geqslant\dfrac{50000}{13402}\)
On divise par 51, on a \(1-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant\dfrac{25000}{341\,751}\)
En passant le 1 de l'autre côté on a :
\(-\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\geqslant-\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Soit en multipliant par \(-1\) :
\(\dfrac{1}{1,02^{n+1}}\leqslant\dfrac{316\,751}{341\,751}\)
Ensuite en passant à l'inverse dans les deux membres de l'inéquation sachant que la fonction inverse est décroissante du \(]0\,;\,+\infty[\) :
\(1,02^{n+1}\geqslant \dfrac{341\,751}{316\,751}\)
Puis en passant aux logarithmes dans les deux membres de l'inéquation, sachant que la fonction logarithme népérien est croissante du \(]0\,;\,+\infty[\) et que \(\ln(a^n)=n\ln(a)\) :
\((n+1)\ln(1,02)\geqslant \ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)\)
On a alors en divisant par \(\ln(1,02)\) et en soustrayant 1 :
\(n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{341\,751}{316\,751}\right)}{\ln(1,02)}-1\)
soit \(n\geqslant 2,836\) donc \(n\geqslant 3\) car \(n\) est entier.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation