SOS-MATH

Bonjour à tous!

J'ai un exercice à rendre sur les congruences modulaires, où je dois prouver l'irrationalité de 3 par l'absurde avec un tableau de congruence modulo 5.

Voici le tableau: Il m'est demandé d'utiliser les deux dernières lignes pour montrer cette irrationalité de 3 par l'absurde

J'ai donc effectué ce raisonnement:

on suppose que sqrt(3) est rationnel donc \(\sqrt(3)=a/b\)

\(3=a^2/b^2\)
\(3b^2=a^2\)

On sait que \(3b^2=a^2\) donc \(3b^2\equiv a^2 mod(5)\)

Or, \(3\equiv 3 mod(5)\) donc 3b^2\equiv 3 mod(5)

et par transitivité: \(a^2\equiv 3 mod(5)\)

On cherche donc dans le tableau de congruence un nombre x tel que: \(3x^2\equiv 3 mod(5)\) et \(x^2\equiv 3 mod(5)\)

Il n'y en a pas donc sqrt(3) est irrationel.

Est-ce correct? Car j'ai l'impression de survoler quelque chose...

Merci d'avance pour vos réponses!

Bonsoir Tristan,

Il y a une erreur dans ton raisonnement...

Or, 3≡3mod(5) donc \(3b^2 \equiv 3 \)mod(5).

Cette implication est fausse. Prends \(b=2\)
\(3b^2=12\) et \(12\equiv 2\) mod(5).

Reviens à \( 3b^2=a^2\) donc \(3b^2≡a^2mod(5)\)

Regarde les deux dernières lignes du tableau pour conclure !

Bonne continuation.

Et-bonjour.

J’ai donc suivi vos conseils:

On sait que 3b^2 est congru à a^2.

Or, d’après le tableau de congruence, 3b^2 et a^2 n’ont aucun reste en commun modulo 5 hormis pour a=0 et b=0

Or, b ne peut pas valoir 0 (division par 0 interdite)

C’est donc absurde!

Sqrt(3) n’est donc pas rationnel.

Est-ce correct? Merci!

Bonjour Tristan,

Tu y es presque... Le tableau ne dit pas que a=0 et b=0 mais que \(a\equiv 0\) mod(5) et \(b\equiv 0\) mod(5). Ceci signifie que \(a\) et \(b\) sont tous les deux divisibles par 5... Une "situation absurde" est proche mais pas celle que tu as annoncé !
Je te laisse reprendre et conclure.
Bonne continuation.

Ah! Je crois que j’ai compris! :)

Si a et b sont tous deux divisibles par 5 (puisque leur reste vaut 0) ils ne sont pas premiers entre-eux! ( alors qu’une fraction doit être constituée de deux nombres a et b premier entre eux: la fraction est effet irréductible)

Cela est donc absurde , sqrt(3) n’est donc pas rationnel!

Est-ce cela?

Encore merci!!

Re,

J’ai peut-être, dans l’excitation d’avoir trouvé, ne pas avoir été clair.

On a: 3b^2 congru à a^2 mod 5

Comme on le voit dans le tableau de congruence, 3x^2 congru a x^2 mod (5) pour x congru à 0 mod 5

Donc 3b^2 est congru à a^2 mod 5 uniquement pour b congru à 0 mod 5 et a congru a 0 mod 5

Or, si a et b sont congru a 0 mod5 , ils sont divisibles par 5, et donc ne sont pas premiers entre-eux!

Cela est donc absurde

Bonjour Tristan,

Oui, tu as trouvé ; c'est très bien !

Bonne continuation.