DM de Maths

[Marie]

J'ai deux exercices de maths (voir ci dessous) à faire pour un DM, et j'ai réussi la plupart des questions, sauf une dans chacun des deux exercices. Je ne voudrais pas avoir de réponses à ces questions, juste connaitre le début du raisonnement à suivre. Merci d'avance.

Exercice 1
1. Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= (1/4)x² +2 et C sa courbe représentative.
Montrer que, pour x appartient à R: f(x) >= x+1.

2.On considère la suite (Un) définie sur N par u0=3 et la relation de récurrence u(n+1)= f(Un).

a) Prouver que, pour tout n appartenant à N, U(n+1) - Un >= 1.
b) En déduire le sens de variation de la suite (Un).
c) Montrer que, pour tout n appartenant à N, Un - U0 >= n.
d) En déduire le comportement de la suite (Un) en + l'infini.

Pour cet exercice, la première question ne pose aucun problème.

J'ai utilisé le même raisonnement que le 1 pour la question 2a. Pour la b, aucun soucis.

Pour la question c, je ne vois pas comment démarrer. Je pense qu'il faut utiliser les résultats précédents mais je tourne en rond.

Pour la question d, j'ai utilisé un encadrement en partant des résultats de la question c et a.
J'utilise ensuite le théorème des gendarmes pour donner la limite.


Exercice 2
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;i,j), on donne les points A(1;-1) et B(5;3).
On considère la suite de points (Gn) définie par le point G0 en O et, pour n >= 1, Gn est le barycentre des points pondérés (Gn-1;2), (A;1) et (B;1).
On note (xn ; yn) les coordonnées de Gn.
1) Calculer les coordonnées des points G1, G2 et G3.
Placer ces points et montrer qu'ils sont alignés.
2) Prouver que, pour tout n de N, Gn+1 est l'image de Gn par une homothétie que l'on caractérisera par son centre et son rapport.
3) Justifier que, pour tout n de N, xn+1=(1/2)xn + 3/2.
4) a) On pose xn=un+3 pour tout entier n.
Démontrer que (Un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b) En déduire une expression simple de xn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (Xn).

Pour cet exercice, la question 1 ne pose pas de problème, je calcule les coordonnés grâce à une formule de mon cours. je calcule ensuite les coordonnées de deux des vecteurs (ex: G1G2 et G1G3) pour prouver que ces derniers sont colinéaires. Ils le sont donc mes points sont alignés.

La question 2 je n'ai pas encore trouvé, je ne comprends pas comment trouver une homothétie commune pour tous les Gn.

La question 3 je me suis basée sur la façon dont j'ai résolu la 1. Et la question 4 a, b et c j'ai tout trouvé.


Un grand merci d'avance.

[sos-math(13)]

Un petit bonjour aussi ;-)

Pour la c de l'exercice 1, un raisonnement par récurrence est adapté.

Pour l'exercice 2, remarquer que \(G_n\) est l'isobarycentre du système {\(G_{n-1}\);\(C\)} où \(C\) est lui-même isobarycentre de {\(A\);\(B\)} devrait te suffire pour conclure. (avec un petit schéma)

Bon courage.

[Marie]

Oups, je m'excuse... Pour essayer de me rattraper je le dis cette fois, bonjour.

Merci en tout cas d'avoir pris la peine de répondre à mon message, je vais essayer avec cette méthode.
Merci beaucoup vraiment.

[sos-math(13)]

Bonjour,

N'hésite pas si tu n'y arrives toujours pas.

à bientôt.

[Jean]

Bonjour a tous Voila moi aussi j ai le meme Dm et je bloque qur l exercice 2 ( je m'enerve dessus ^^ ) la question c'est okay mais pour le reste c est pas le top
J' ailerais bien que vous m aidiez pour les questions 2 et 3 dans un premier temps
Merci d'Avance =D

[jEAN]

Bonojour a Tous
Je suis aussi bloquer par l exercice 2 je bloque surtout sur les questions 2 et 3 j aurais besoin d 'aide Merci d Avance a tous =D

[sos-math(21)]

Bonjour,
dire qu'un point \(G_{n+1}\) est l'image d'un autre point \(G_n\)par une homothétie de centre un point \(C\) signifie qu'il existe \(k\in\mathbb{R}\), tel que \(\vec{CG_{n+1}}=k\times \vec{CG_n}\).
Maintenant, il faudrait trouver un point \(C\) et un coefficient \(k\).
Le point \(C\) doit être indépendant de \(n\).
Les relations barycentriques, nous disent que si \(G_{n+1}=bar((G_n;2),(A,1),(B,1)\) alors pour tout point \(M\) du plan :
\(\vec{MG_{n+1}}=\frac{2\vec{MG_n}+\vec{MA}+\vec{MB}}{2+1+1}\).
Qu'est-ce qui dans cette relation permettrait d'avoir \(\vec{CG_{n+1}}=k\times \vec{CG_n}\) ?, c'est-à-dire quel point \(C\) prendre pour que \(\vec{CA}+\vec{CB}=\vec{0}\) ?
A vous de le trouver et le reste en découle.
Ensuite pour la question 3, il suffit de réécrire la relation vectorielle \(\vec{CG_{n+1}}=k\times \vec{CG_n}\) et d'intercaler avec Chasles le point origine \(O\) de sorte que l'on puisse regarder les abscisses des vecteurs \(\vec{OG_{n+1}}\) et \(\vec{OG_n}\) qui ne sont autres que \(x_{n+1}\) et \(x_n\).
Bon courage

[jean]

D'accord merci Beaucoup pour ces renseignements cependant pour la question 3 peut-on utiliser la reccurence ? Car c'est ce qu on fait en cours en ce moment ?

[jean]

D'accord Merci beaucoup mais je voudrais savoir si il est possible d'utiliser la reccurence pôur la question 3 ? Car c 'est le chapitre que j etudie en ce moment

[sos-math(21)]

Bonsoir,
La récurrence n'est pas nécessaire, il s'agit juste de considérer \(n\in\mathbb{N}\) et d'utiliser la définition de \(G_{n+1}\).
Comme le raisonnement s'est fait avec n quelconque, il est vrai pour tout n.
Bon courage

[solène]

bonjour
je n'arrive pas a montrer que un+1 >= un =/

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu as prouvé dans une première question que \(f(x)\geq\,x+1\)
Donc si \(u_{n+1}=f(u_n)\), on a \(f(u_n)\geq\,u_n+1\) donc \(u_{n+1}-u_n\geq\,1\) donc a priori \(u_{n+1}-u_n\geq\,0\)