recurrence

[flora]

Bonjour, je n'arrive pas à demontrer ceci

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te propose de démontrer par récurrence la propriété : \(\mathcal{P}_n\,: \, u_{n+1}>0\kern0.5cm \text{et}\kern0.5cm u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)

• initialisation : je te laisse vérifier que \(\mathcal{P}_0\) est vraie
• hérédité : on suppose que pour un certain rang \(n\in\mathbb{N}\), \(\mathcal{P_n}\) est vraie.
  On considère ensuite \(u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+1}}\right)^2=\dfrac{u_n^2}{u_n^2+1}\). On utilise alors la propriété \(\mathcal{P}_n\) donnant l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). Je te laisse remplacer \(u_n\) par cette expression dans celle de \(u_{n+1}^2\) puis terminer le calcul en prenant la racine carrée (possible car on sait par hypothèse de récurrence que \(u_{n+1}>0\)). On devrait retrouver l'expression de \(u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\). Il restera ensuite à prouver que \(u_{n+2}>0\) puis à conclure par le principe de récurrence.

Je te laisse travailler.
Bonne continuation