Suites auxiliaires, géométriques, théorème de convergence monotone

[Inaya]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour avancer dans la résolution de cet exercice, svp (il est pour demain, un peu tard je sais). Plus précisément des conseilles pouvant m'aiguiller pour trouver les réponses (énoncé en pj).

[Inaya]

Entre-temps j'ai avancé dans la résolution de l'exercice, il me faudrait désormais de l'aide juste pour les questions 1b., 2b., 3 et 4b. .

[sos-math(21)]

Bonjour,
As tu réussi la partie algorithmique ? Il suffit de suivre l’algorithme et de noter les valeurs contenues dans les variables au fur et à mesure.
Pour la partie B, le calcul de la différence des termes au rang \(n+1\) utilise les expressions données au début de l’énoncé.
Il faut faire la différence des deux quotients en les mettant au même dénominateur et cela se fait assez facilement.
Cette relation \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5}{12}(v_n-u_n)\) indique que la suite \(w_n\) définie par \(w_n=v_n-u_n\) est 7ne suite géométrique de raison \(\dfrac{5}{12}\).
Tu calcules le premier terme \(w_0\) et tu utilises la formule explicite des suites géométriques pour obtenir l’expression de la question 1.b.
Pour la 2. Tu peux exploiter le fait que la suite géométrique \((w_n)\) est toujours positive donc \(v_n-u_n>0\)
Cela te permettra de montrer la variation des suites en calculant \(u_{n+1}-u_n\) et \(v_{n+1}-v_n\).
Pour la suite, tu pourras majorer la suite \(u\) par le premier terme de la suite \(v\) et minorer la suite \(v\) par le premier terme de la suite \(u\) toujours grâce au fait que \(v_n-u_n>0\).
Tu auras une suite \(u\) croissante et majorée et une suite \(v\) décroissante et minorée donc elles seront toutes les deux convergentes.
Comme la suite de leur différence \(w\) tend vers 0 ( suite géométrique de raison comprise entre \(-1\) et \(1\) strictement), elles auront bien la même limite.
Je te laisse faire cet exercice avec toutes ces indications.
Bonne continuation

[sos-math(21)]

Bonjour
Pour la fin (4a) tu peux faire une récurrence pour prouver la propriété \(t_n=46\)
Pour l’hérédité, tu pourras utiliser les relations de récurrence définissant les deux suites.
Pour dernière question 4b, tu passes à la limite dans l’égalité \(3u_n+4v_n=46\) et sachant que les deux suites converge vers une même limite \(\ell\), tu as \(3\ell+4\ell=46\) et tu trouves facilement la valeur de \(\ell\).
Bonne conclusion

[Inaya]

Bonjour,
D'accord merci
Inaya

[sos-math(21)]

Bonjour,
En espérant que ces explications t’ont permis de terminer ton exercice.
Bonne continuation