Calcul matriciel

[TerminaleS+3]

Bonjour,

Je travaille sur ce produit matriciel

U(t) = PE(t)P^(-1)U0

Avec P =
(i -i
1 1)

P^-1 =
1/2i (1 i
-1 i)

En vérifiant P.P-1, je trouve bien la matrice identité. Cependant, je ne suis plus sur de moi pour le produit matriciel ci dessus, car j'ai l'impression que celui du corrigé n'est pas correct...(ou alors j'ai fait une bétise).

Mes conditions initiales X0 valent (0, 1).

Vous trouverez en PJ mon calcul. Pouvez vous me dire s'il est juste s'il vous plait ? Je crois qu'il n'est pas aboutit par contre...
Je souhaitais vous demander de l'aide initialement sur la question suivante de l'annale. Mais cela implique d'avoir trouvé un résultat juste pour ce calcul !

Merci beaucoup,
Bonne journée !

1 PJ :

[sos-math(21)]

Bonjour,
je n'ai pas le début de ton énoncé donc je ne connais pas le contexte mais,
a priori, tes calculs matriciels sont corrects jusqu'à l'avant dernière ligne (il te manque un \(i\) sur le deuxième terme de la deuxième ligne) où tu dois utiliser les formules d'Euler :
\(\cos(t)=\dfrac{\text{e}^{it}+\text{e}^{-it}}{2}\) et \(\sin(t)=\dfrac{\text{e}^{it}-\text{e}^{-it}}{2i}\)
Si tes calculs sont corrects, tu dois trouver à la fin \(\begin{pmatrix}\sin(t)\\\cos(t)\end{pmatrix}\).
Essaie de reprendre cela et vois si ce que je t'annonce comme résultat est conforme à ton corrigé.
Bonne continuation

[Terminale S=3]

Merci de votre réponse

je n'ai pas le début de ton énoncé donc je ne connais pas le contexte mais

C'est parce que je n'osais pas vous inonder de détails, d'autant plus que je suis sur un forum de lycée et que je poste des exercices d'université. Je voulais faire au plus simple

J'étudie un système de deux équations différentielles :

dx/dy = y
dy/dt = -x

Ce système se réécrit sous la forme dU/dt = AU,
avec A = (0 1
-1 0)

Les valeurs propres sont -i et i. Après avoir déterminé les vecteurs propres, la matrice de passage s'écrit :
P = (i -I
1 1)

Et P^-1 est :
1/2i (1 i
-1 i)
En faisant P.P^-1, je trouve bien la matrice identité. Et c'est à partir de là que mon travail diffère avec le corrigé, qui propose une autre matrice P^-1 (mais nous avons bien sur le meme P). Je vous le joins si vous voulez regarder. (Les annales de maths comportent quelques coquilles, peut etre en avons nous une, ou alors je n'ai pas saisi leur méthode)

Cela fait que je ne peux plus suivre le corrigé pour tout le calcul qui en découle, c'est à dire U(t) = PE(t)P^(-1)U0.

Par contre, votre solution, et celui du corrigé, aboutissent sur le meme résultat !
Je vais avancer, je vous tiens au courant !

Bonne soirée SOS 21, à demain !

1 PJ :

P inverse.png (9.13 Kio) Vu 2373 fois

[sos-math(21)]

Bonjour,
ma résolution s'est appuyée sur tes calculs donc si j'arrive à la bonne solution, c'est bien que tes calculs sont corrects.
Ta matrice \(P^{-1}\) n'est pas différente du corrigé, c'est seulement que tu as factorisé les coefficients de ta matrice par \(\dfrac{1}{2i}\), ce que n'a pas fait le corrigé mais c'est la même matrice !
Tu peux continuer ton travail en suivant mes calculs, notamment la fin qui te permet de conclure sur les solutions.
Bonne continuation

[Terminale S+3]

MISE A JOUR !

J'ai réussi le calcul !
Nous pouvons attaquer la question suivante (la dernière question). C'est cette question pour laquelle j'aimerai avoir votre avis.

Je vous joins l'énoncé en PJ.
Le corrigé dit : "Le point de coordonnées (0 ;0) est un centre. Le modèle produit des orbites circulaires autour de ce point. "

Dans le graphe de droite, je reconnais bien nos deux solutions, cos et sin...mais je ne vois pas pourquoi nous avons un cercle à gauche...

Merci de votre temps !

1 PJ :

[sos-math(21)]

Bonjour,
Le graphique de gauche représente la trajectoire d’un point mobile \(M\) dont les coordonnées sont les solutions de l’équation \(M(\sin(t),\,\cos(t))\)
Or ces coordonnées sont celles des points d’un cercle de centre l’origine du repère et de rayon 1 : rappelle toi le cercle trigonométrique qui est formé de points ayant des coordonnées « proches » : on a échangé les coordonnées mais la trajectoire globale est la même (symétrie axiale d’axe la diagonale \(y=x\)).
En espérant t’avoir éclairé.
Bonne continuation

[TerminaleS+3]

Bonsoir SOS 21

Merci de vos réponses

Si j'ai bien compris, ce cercle, c'est toutes les valeurs que peuvent prendre les solutions de notre équation ? C'est l'ensemble des solutions ? Car un cos(x) ou sin(x) est toujours compris entre 0 et 1.

Bonne soirée, reposez vous !

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est cela : les coordonnées que tu as obtenus avec ton équation différentielle donnent comme solution le point mobile \(M(t)(\sin(t)\,;\,\cos(t))\) dont la trajectoire quand \(t\) évolue suit le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
En effet pour tout réel \(t\) \(OM(t)=\sqrt{(x_{M(t)}-x_0)^2+(y_{M(t)}-y_0)^2}=\sqrt{\underbrace{(\sin(t))^2+(\cos(t))^2}_{=1}}=1\) d'après une formule connue depuis la seconde. Cela signifie que le point \(M\) est toujours à une distance égale à 1 de \(O\), donc qu'il est sur le cercle de centre \(O\) et de rayon 1.
Bonne continuation

[Terminale S+3]

Bonjour,

Merci j'ai compris !
J'ai compris le raisonnement !
Mais il petit détail me perturbe au niveau de l'application numérique (c'est juste pour être curieux et comprendre à 100 %) : comment passez vous de la première racine à la deuxième ? J'imagine que x0 et y0 valent 0 ? Ce qui fait qu'il ne reste que xM(t) et yM(t) qui valent respectivement sin(t) et cos(t) ?

[sos-math(21)]

Bonjour
C’est exactement cela : on calcule la distance \(OM\) où \(O\) est l’origine du repère donc a pour coordonnées \((0\,;\,0)\).
Bonne continuation

[Terminale S+3]

C'est compris SOS 21,

Merci beaucoup de votre temps,
Bonne soirée, à bientot sur le forum !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Bonne continuation et à bientôt sur sos math