Espérance

[Patrick]

Bonjour j'ai une petite question:
V(X)=E[(X-E(X))²]=V(X)=E(X²)-E²(X) Pourquoi ?

Merci d'avance.

Patrick

PS: Je suis en première année de médecine, le forum s'arrète à niveau terminale, j'ai posté ce post parce que j'ai vu les variables et les espèrances l'année dernière. Néanmoins si vous ne voulez pas m'aider je comprendrais.

[SoS-Math(11)]

;Bonjour Patrick,

Cette formule est obtenue en développant le premier membre écrit sous forme d'une somme puis en regroupant les termes.
Je vous donne un aperçu avec trois termes, vous pourrez ensuite généraliser.
Je note m = E(X), l'espérance de X et a, b et c les valeurs prises par X avec les probabilités p, q et r ; on a donc E(X) = m = p*a + q*b + c*r
E((X-E(X))² = E((X - m)²)= p(a - m)² + q(b - m)² + r*(c - m)² = p*a² + 2*p*a*m + p*m² + q*b² + 2*q*b*m + q*m² + r*c² + 2*r*c*m + r*m² =
[p*a² + q*b² + r*c²] - 2*m*[p*a + q*b + c*r] + m² = E(X²) - 2*m*m + m² = E(X²) - m² = E(X²) - (E(X))².
J'espère que cela vous permettra de mieux comprendre cette formule, surtout qu'elle permet de simplifier les calculs.
Bonne continuation
Sos 11

[Patrick]

Complexe mais compréhensible ;)

Merci,

Patrick

[Patrick]

V(X)=E[(X-E(X))²]=E[X²-2XE(X)+(E(X))²= E(X²)-2E(X)E(X)+(E(X))²=E(X²)-E²(X)

Pourquoi le E devant ne s'applique qu'au X ?

Merci d'avance,
Patrick

[Patrick]

V(X)=E[(X-E(X))²]=E[X²-2XE(X)+(E(X))²= E(X²)-2E(X)E(X)+(E(X))²=E(X²)-E²(X)

Pourquoi le E devant ne s'applique qu'au X ? Je pense avoir compris....

Parce que dans l'expression si dessus E(X²) et (E(X))² sont apparentées à des constantes or E(kX)= k E(X) je me trompe?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir

Non vous ne vous trompez pas
E(x) désigne une somme, donc E(kx) sera une somme dans laquelle les valeurs de x sont multipliées par K, on peut mettre k en facteur d'où E(kx) = kE(x).
De plus dans la formule E((X- E(X))2) ; E(X) désigne un nombre fixe qu'il faut enlever à chaque valeur prise par x puis élever au carré et multiplier par sa probabilité et enfin faire la somme de tous les résultats, ce qui est quasiment infaisable à la main.
Bonne continuation
Sos math 11

[Patrick]

ouf, je vais pouvoir dormir :))

Merci pour tout!!

PS: J'ai posté un autre sujet dans divers, mais mon pc a quelques bugs des fois... J'espère qu'il est passé....

Bonne soirée

Merci pour votre disponibilité à toute heure

[SoS-Math(7)]

A bientôt !