Représenter solutions equa. différentielles

[TerminaleS+3]

Bonjour,

J'ai l'équation différentielle suivante :
dy/dt = -y+1

Avec la condition particulière y(t=0)=y0

La solution de cette équation différentielle est : y(t) = 1+(y0 - 1)e^(-t)

La question suivante me demande de "représenter sur un même schéma la forme qualitative des solutions particulières de l’équation correspondant aux conditions initiales y0 = 0, 1 et 2".
Vous trouverez en PJ ce que donne le corrigé.

Je n'ai pas compris comment obtenir ce graphe. Comment dois je procéder ? Faut il remplacer les valeurs de y0 dans la formule de y(t) ?
Sur ce graphes, toutes les solutions convergent asymptotiquement vers 1. Comment, lors du tracé, aurais-je pu le savoir ? Quel calcul aurais-je dû faire ?


Merci de votre attention,
Bon week end !

1 PJ :

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'équation différentielle \(y'=ay+b\) a pour solution générale \(y(t)=C\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\)
donc ici, tes solutions seraient \(y(t)=C\text{e}^{-t}+1\) où \(C\) est déterminé en fonction d'une condition initiale.
Avec \(y(0)=y_0\), on a \(C=y_0-1\) et on a bien \(y(t)=(y_0-1)\text{e}^{-t}+1\)
il s'agit de remplacer \(y_0\) dans ton expression solution à chaque fois :

\(y_0=0\) : tu as \(y(t)=-\text{e}^{-t}+1\). Pour avoir une idée de ce tracé qualitatif, il faut partir de la courbe de la fonction exponentielle.
Avec le \(-t\), cela te donne une symétrie axiale d'axe \(Oy\), puis le \(-\) devant \(\text{e}^{-t}\) te donne une symétrie axiale d'axe \(Ox\), puis le rajout de la constante 1 te donne une translation verticale d'une unité vers le haut : cela te donne bien la courbe du bas.

Pour \(y_0=1\), la courbe est constante égale à 1, c'est la droite horizontale.

Pour \(y_0=2\), tu as \(y(t)=\text{e}^{-t}+1\) : tu pars de l'exponentielle, tu fais une symétrie axiale d'axe \(Oy\), puis tu translates verticalement d'une unité vers le haut.
Bonne continuation

[TerminaleS+3]

Oh merci SOS 21,

J'ai tout compris ! C'est super clair ! Et puis, ca reprend un peu ce que nous avons vu sur la représentation graphique des exponentielles dans un précédent sujet.

Bon dimanche, et à bientot sur le forum !

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est effectivement lié à une de tes demandes précédentes sur les symétries de l'exponentielle :
https://sosmath.ac-poitiers.fr/viewtopi ... =9&t=20769
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math