2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

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TerminaleS+3

2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

Message par TerminaleS+3 » jeu. 13 oct. 2022 22:04

Bonsoir,

J'ai le système suivant :
dx/dt = x
dy/dt = x-y

La condition initiale est :
x(t=0)=0
y(t=0)=1

Je peux le réécrire sous forme matricielle dX/dt = AX
Les valeurs propres de la matrice A est -1 et 1, les vecteurs propres associées à ces valeurs propres sont respectivement u1 (0, 1) et u2 (2, 1).

Pour résoudre ce système, j'utilise la formule X(t) = P.E(t)P^(-1).X0
La solution est le vecteur X(t)=(0; e^(-t)) (c'est ce que j'ai trouvé, et la solution me la confirme)

Je n'ai pas ce soucis avec cette méthode, j'arrive à l'appliquer sans souci.
Mais il existe une seconde méthode où la solution X(t)=C1.e^(λ1t).u1 + C2.e^(λ2t).u2.
λ1 et λ2 sont les deux valeurs propres. C1 et C2 sont des constantes réelles.

Ce qui me pose problème c'est que je ne trouve pas les mêmes réponses. Ou alors, la solution que je trouve avec la deuxième méthode est équivalente à la première, mais je n'arrive pas à le voir.
Par exemple, lorsque je fais le calcul, je ne sais pas quoi faire de C1 et C2...j'ai envie de les enlever puisque dans la réponse finale (selon la première méthode, C1 et C2 n'apparaissent pas)
Pouvez vous m'expliquer ce qui ne va pas s'il vous plait ? Je peux vous envoyer mon application numérique pour qu'on voit ce qui ne va pas.

Merci de votre temps !
sos-math(21)
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Re: 2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

Message par sos-math(21) » jeu. 13 oct. 2022 22:27

Bonjour,
ta deuxième méthode est une généralisation de ta première méthode : on te donne directement la forme des solutions.
Si on te donne des conditions initiales, la solution est unique car tu peux déterminer tes constantes \(C_1\) et \(C_2\).
En effet, ici, selon tes calculs (que je ne vérifie pas), tu as :
\(X(t)=C_1\text{e}^{-t}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+C_2\text{e}^{t}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)
Si tu as en conditions intiales, \(X(0)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\), alors cela donne :
\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=C_1\text{e}^{0}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+C_2\text{e}^{0}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)
soit
\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\)
ce qui donne en regardant chaque ligne :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}0&=&2C_2\\1&=&C_1+C_2\end{array}\right.\), ce qui donne bien \(C_2=0\) et \(C_1=1\)
Donc on retrouve bien \(X(t)=\text{e}^{-t}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\text{e}^{-t}\end{pmatrix}\), ce qui correspond bien à ce que tu as trouvé.
Bonne continuation
Terminale S+3

Re: 2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

Message par Terminale S+3 » sam. 15 oct. 2022 11:37

Merci SOS 21 !

Comme d'habitude, c'est très bien expliqué ! J'ai compris la méthode !

Il y a un détail qui me chiffonne cependant. Dans ma capture d'écran, je n'ai pas compris pourquoi e^-t et e^t deviennent e^0.
Je sais que e^1 = 0, mais nous n'avons pas ce cas de figure ici ?

Merci de votre temps, j'aime beaucoup travailler avec vous !

1 PJ :
capture écran.png
sos-math(21)
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Re: 2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

Message par sos-math(21) » sam. 15 oct. 2022 11:43

Bonjour,
les conditions initiales sont données pour \(t=0\) donc on remplace \(t\) par \(0\) dans les exponentielles :
\(\text{e}^{0}=\text{e}^{-0}=1\)
Je pense que tu confonds car tu me dis que \(\text{e}^1=0\) ce qui est faux : \(\text{e}^1=\text{e}\approx 2,718\).
C'est le logarithme (fonction réciproque de l'exponentielle) qui s'annule en \(1\) : \(\ln(1)=0\).
Bonne continuation
TerminaleS+3

Re: 2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

Message par TerminaleS+3 » sam. 15 oct. 2022 12:05

Merciiii j'ai tout compris !

Oui, j'ai fait une confusion avec e^0=1

A bientot sur le forum !
sos-math(21)
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Re: 2 méthodes résolutions equa. différentielles non homogènes

Message par sos-math(21) » sam. 15 oct. 2022 12:24

Bonjour,
très bien si tu as compris la méthode.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
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