Bonjour je m'appelle Vianney en Terminale Maths Physique Chimie,
J'ai un Dm à rendre pour dans deux jours, mais un des exercice m'empêche de le conclure...
C'est un exercice sur le binôme de Newton, que je n'arrive pas à complété. (Aucune des questions)
Je laisse l'énoncé en pièce jointe du fait de la difficulté à tapper certain caractère.
Merci d'avance pour se qui me fourniront de l'aide.🙏
Exercice Binôme de Newton
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Vianney
Exercice Binôme de Newton
- Fichiers joints
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- L'énoncé
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sos-math(21)
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Re: Exercice Binôme de Newton
Bonjour,
Tu peux commencer par écrire la définition du coefficient binomial sous forme de factorielles :
tu as \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
On te dit d'utiliser l'inégalité \(k!\geqslant 2^{k-1}\) ce qui donne en prenant l'inverse (opération décroissante qui change l'ordre de l'inégalité) :
\(\dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
donc \(\dfrac{\binom{n}{k}}{n^k}=\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
Il reste à étudier la fraction : \(\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\ldots\times 2\times 1}{n\times n\times n\times (n-k)\times (n-k-1)\ldots\times 1}=\underbrace{\dfrac{n}{n}\times \dfrac{n-1}{n}\times \ldots\times\dfrac{n-k+1}{n}}_{\text{fractions inférieures à 1}}\times\underbrace{ \dfrac{n-k}{n-k}\times\dfrac{2}{2}\times \dfrac{1}{1} }_{\text{fractions égales à 1}}\)
On peut donc écrire cette fractions comme un produit de fractions de valeurs décimales inférieures ou égales à 1 donc cette fraction est inférieure ou égale à 1, ce qui montre la première inégalité.
Pour la deuxième question, cette somme est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{2}\). Tu as donc une formule te donnant cette somme :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ \ldots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\)
Comme le dénominateur est égal à \(\dfrac{1}{2}\), on a \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\)
Je te laisse réfléchir à ce que je t'ai transmis et tu dois désormais pouvoir t'en sortir seul sur cet exercice qui n'est pas simple du tout.
Bonne continuation
Tu peux commencer par écrire la définition du coefficient binomial sous forme de factorielles :
tu as \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
On te dit d'utiliser l'inégalité \(k!\geqslant 2^{k-1}\) ce qui donne en prenant l'inverse (opération décroissante qui change l'ordre de l'inégalité) :
\(\dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
donc \(\dfrac{\binom{n}{k}}{n^k}=\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{k!}\leqslant \dfrac{n!}{n^k(n-k)!}\times \dfrac{1}{2^{k-1}}\)
Il reste à étudier la fraction : \(\dfrac{n!}{n^k(n-k)!}=\dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\ldots\times 2\times 1}{n\times n\times n\times (n-k)\times (n-k-1)\ldots\times 1}=\underbrace{\dfrac{n}{n}\times \dfrac{n-1}{n}\times \ldots\times\dfrac{n-k+1}{n}}_{\text{fractions inférieures à 1}}\times\underbrace{ \dfrac{n-k}{n-k}\times\dfrac{2}{2}\times \dfrac{1}{1} }_{\text{fractions égales à 1}}\)
On peut donc écrire cette fractions comme un produit de fractions de valeurs décimales inférieures ou égales à 1 donc cette fraction est inférieure ou égale à 1, ce qui montre la première inégalité.
Pour la deuxième question, cette somme est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac{1}{2}\). Tu as donc une formule te donnant cette somme :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ \ldots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\)
Comme le dénominateur est égal à \(\dfrac{1}{2}\), on a \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^{k-1}}=2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\)
Je te laisse réfléchir à ce que je t'ai transmis et tu dois désormais pouvoir t'en sortir seul sur cet exercice qui n'est pas simple du tout.
Bonne continuation
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Vianney
Re: Exercice Binôme de Newton
Merci infiniment j'espère pouvoir m'en sortir avec sa 💪🙏
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sos-math(21)
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Re: Exercice Binôme de Newton
Bonjour,
pour le calcul de \(S_n\), c'est l'application du binôme de Newton mais si tu n'as pas le droit de l'utiliser, on peut s'en sortir avec une récurrence (voir cette vidéo par exemple : https://youtu.be/raWJysLaIsU)
Bonne continuation
pour le calcul de \(S_n\), c'est l'application du binôme de Newton mais si tu n'as pas le droit de l'utiliser, on peut s'en sortir avec une récurrence (voir cette vidéo par exemple : https://youtu.be/raWJysLaIsU)
Bonne continuation