Hello puis je avoir de l'aide svpp
Soit(un) la suite définie par: u0=0 et u(n+1)=1/2*Un+1. Montrer par récurrence que (Un) est majorée par 2 et (Un) est croissante.
suite par récurrence
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lilou
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sos-math(21)
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Re: suite par récurrence
Bonjour,
Il faut d'abord définir la propriété que tu veux démontrer afin de bien délimiter ta démonstration par récurrence.
On note donc \(\mathcal{P}_n\, : 0\leqslant u_n\leqslant 2\,\, \text{et}\,\, u_{n+1}\geqslant u_n\) ce que tu peux réécrire en une seule inégalité :
\(0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 2\).
Bonne rédaction
Il faut d'abord définir la propriété que tu veux démontrer afin de bien délimiter ta démonstration par récurrence.
On note donc \(\mathcal{P}_n\, : 0\leqslant u_n\leqslant 2\,\, \text{et}\,\, u_{n+1}\geqslant u_n\) ce que tu peux réécrire en une seule inégalité :
\(0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 2\).
- Initialisation : tu as \(u_0=0\), tu calcules \(u_1=\dfrac{1}{2}u_0+1=\ldots\) puis tu regardes si l'inégalité est vérifiée (normalement oui)
- Hérédité : tu considères un entier naturel \(n\) pour lequel la propriété \(\mathcal{P}_n\) est vraie. Puis tu regardes les opérations qu'il faut faire pour passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) : \(u_n\stackrel{\times \frac{1}{2}}{\longmapsto}\dfrac{1}{2}u_n\stackrel{+1}{\longmapsto}\dfrac{1}{2}u_n+1\)
Donc si tu pars de l'inégalité \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 2\), il faut que tu appliques ces deux opérations à l'inégalité pour obtenir les rangs suivants pour la suite. Je te laisse faire et conclure sur l'hérédité.
Bonne rédaction