Equa diff demo solutions
Equa diff demo solutions
Bonjour,
Je cherche à démontrer la solution de l'équation différentielle dy/dt = ay+b.
J'ai trouvé la démonstration (voir PJ svp). La première partie prouve l'existence de la solution. En effet, en dérivant, nous retrouvons bien quelque chose de la forme ay+b.
Cependant, je ne comprends pas du tout la deuxième partie. Est ce qu'elle prouve l'unicité de la solution ? Je n'ai pas leur raisonnement. Pouvez vous me l'expliquer sil vous plait ?
Merci beaucoup de votre attention !
Je cherche à démontrer la solution de l'équation différentielle dy/dt = ay+b.
J'ai trouvé la démonstration (voir PJ svp). La première partie prouve l'existence de la solution. En effet, en dérivant, nous retrouvons bien quelque chose de la forme ay+b.
Cependant, je ne comprends pas du tout la deuxième partie. Est ce qu'elle prouve l'unicité de la solution ? Je n'ai pas leur raisonnement. Pouvez vous me l'expliquer sil vous plait ?
Merci beaucoup de votre attention !
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Re: Equa diff demo solutions
Bonjour Billy
Il m'est difficile de répondre à ta question car je n'ai pas ta pièce jointe...
J'attends ta réponse.
Il m'est difficile de répondre à ta question car je n'ai pas ta pièce jointe...
J'attends ta réponse.
Re: Equa diff demo solutions
Oh, pardon SOS 7
Je vous l'envoie de suite
Je vous l'envoie de suite
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Re: Equa diff demo solutions
Bonsoir,
En fait ici la démonstration proposée est une démonstration par double implication.
Dans un premier temps, on montre l'implication : Si \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\) alors \(y\) est solution de \(y'=ay+b\). Tu l'as bien comprise.
Puis on démontre l'autre implication : si \(y(x)\) est solution de \(y'=ay+b\) alors \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\). c'est là que tu es un peu moins à l'aise...
Pour ce faire on essaie de se ramener à une équation différentielle dont on connait l'ensemble des solutions : \(y'=ay\) (les solutions sont \(y(x)=k e^{ax}\)). On dit que c'est l'équation homogène.
L'idée est de trouver une solution particulière de notre équation générale : \(y'=ay+b\) ici \(y_0=\frac{-b}{a}\).
Ensuite on écrit les deux équations dans un système et on procède à une soustraction membre à membre pour retrouver l'équation homogène dont on connait la forme : \(y-y_0=k e^{ax} \) et \(y_0=\frac{-b}{a}\) ce qui équivaut à \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\).
J'espère que c'est plus clair.
A bientôt
En fait ici la démonstration proposée est une démonstration par double implication.
Dans un premier temps, on montre l'implication : Si \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\) alors \(y\) est solution de \(y'=ay+b\). Tu l'as bien comprise.
Puis on démontre l'autre implication : si \(y(x)\) est solution de \(y'=ay+b\) alors \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\). c'est là que tu es un peu moins à l'aise...
Pour ce faire on essaie de se ramener à une équation différentielle dont on connait l'ensemble des solutions : \(y'=ay\) (les solutions sont \(y(x)=k e^{ax}\)). On dit que c'est l'équation homogène.
L'idée est de trouver une solution particulière de notre équation générale : \(y'=ay+b\) ici \(y_0=\frac{-b}{a}\).
Ensuite on écrit les deux équations dans un système et on procède à une soustraction membre à membre pour retrouver l'équation homogène dont on connait la forme : \(y-y_0=k e^{ax} \) et \(y_0=\frac{-b}{a}\) ce qui équivaut à \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\).
J'espère que c'est plus clair.
A bientôt
Re: Equa diff demo solutions
Merci de votre réponse ! C'est globalement plus clair ! mais il me reste quelques questions, quelques point que je ne saisis pas
Nous avions procédé de la même façon pour démontrer la solution de l'équation différentielle ordinaire homogène (dans une autre démo)
Aussi, je n'ai pas compris la phrase dans la démo de ma pièce jointe qui dit que "réciproquement y0 = -b/a, est solution car ay0+b = -b+b=0=y'0"...
Solution de quoi...?
Je n'ai aussi pas compris la conclusion : comment, en disant que y-y0 vérifie l'équation homogène, on en arrive à la conclusion que la solution de notre équa diff non homogène est de forme ke^ax-(b/a)
Merci beaucoup de votre patience !
Ah je vois, nous supposons que y(x) est une solution, et si elle existe, nous montrons qu'elle sera de la forme ke^ax-(b/a).Puis on démontre l'autre implication : si y(x) est solution de y′=ay+b alors y(x)=keax−ba. c'est là que tu es un peu moins à l'aise...
Nous avions procédé de la même façon pour démontrer la solution de l'équation différentielle ordinaire homogène (dans une autre démo)
J'ai du mal à comprendre et à voir, à quel moment, dans mon fichier, nous avons fait appel à une équation homogène. Est ce qu'elle apparait à la ligne "par soustraction terme à terme... (y-y0)' = ... a(y-y0)" ? Nous avons une forme dérivée = constante*fonctionPour ce faire on essaie de se ramener à une équation différentielle dont on connait l'ensemble des solutions : y′=ay (les solutions sont y(x)=keax). On dit que c'est l'équation homogène.
Aussi, je n'ai pas compris la phrase dans la démo de ma pièce jointe qui dit que "réciproquement y0 = -b/a, est solution car ay0+b = -b+b=0=y'0"...
Solution de quoi...?
Je n'ai aussi pas compris la conclusion : comment, en disant que y-y0 vérifie l'équation homogène, on en arrive à la conclusion que la solution de notre équa diff non homogène est de forme ke^ax-(b/a)
Merci beaucoup de votre patience !
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Re: Equa diff demo solutions
Bonjour Billy
Tes remarques, questions me laissent à penser que tu as bien avancé dans cette démonstration.
Je vais partir du plus simple...
si \(y(x)\) est solution de \(y′=ay+b \) alors \( y(x)=ke^{ax}−ba\)
Le premier point est de trouver une solution particulière à l'équation globale : \(y′=ay+b\). Cette solution particulière est trouvée à partir d'une fonction constante dont la dérivée est nulle. Ainsi on a \(0=ay_0 +b\) d'où la solution \(y_0=\frac{-b}{a}\).
Dans le système, par soustractions membre à membre, tu obtiens \((y-y_0)'=a(y-y_0)\), c'est à dire
Bonne continuation.
Tes remarques, questions me laissent à penser que tu as bien avancé dans cette démonstration.
Je vais partir du plus simple...
Le "réciproquement" est à mettre à part, ici il permet d'identifier que l'on entre dans la démonstration de la nouvelle implication :Aussi, je n'ai pas compris la phrase dans la démo de ma pièce jointe qui dit que "réciproquement y0 = -b/a, est solution car ay0+b = -b+b=0=y'0"...
Solution de quoi...?
si \(y(x)\) est solution de \(y′=ay+b \) alors \( y(x)=ke^{ax}−ba\)
Le premier point est de trouver une solution particulière à l'équation globale : \(y′=ay+b\). Cette solution particulière est trouvée à partir d'une fonction constante dont la dérivée est nulle. Ainsi on a \(0=ay_0 +b\) d'où la solution \(y_0=\frac{-b}{a}\).
C'est exactement ça, l'équation homogène estJ'ai du mal à comprendre et à voir, à quel moment, dans mon fichier, nous avons fait appel à une équation homogène. Est ce qu'elle apparait à la ligne "par soustraction terme à terme... (y-y0)' = ... a(y-y0)" ? Nous avons une forme dérivée = constante*fonction
Vous avez déjà vu ce cas et montré que les solutions sont les fonctions de la forme \(ke^{ax}\).forme dérivée = constante*fonction
Dans le système, par soustractions membre à membre, tu obtiens \((y-y_0)'=a(y-y_0)\), c'est à dire
Ainsi tu peux en déduire que les solutions de l'équation sont de la forme \(y-y_0=ke^{ax} \iff y-\frac{-b}{a}=ke^{ax} \iff y=ke^{ax} -\frac{b}{a}\).forme dérivée = constante*fonction
Bonne continuation.
Re: Equa diff demo solutions
Bonjour SOS 7,
Merci de votre réponse détaillée. Tout est (presque) clair ! J'ai mieux compris le raisonnement !
Aussi, pourquoi parler de solution particulière, mais pas de solution générale ?
Merci de votre temps !
Bonne nuit !
Merci de votre réponse détaillée. Tout est (presque) clair ! J'ai mieux compris le raisonnement !
Oui, j'ai relu votre explication et la démonstration avec attention hier soir, merci de vos encouragements.Les remarques, questions me laissent à penser que tu as bien avancé dans cette démonstration.
pourquoi y(x) = ke^(ax)-ba ? ce ne serait pas -b/ a ? ou alors, je n'ai pas saisi quelque chose...Le "réciproquement" est à mettre à part, ici il permet d'identifier que l'on entre dans la démonstration de la nouvelle implication :
si y(x) est solution de y'=ay+b alors y(x)=keax−ba
Comment trouve t'on cette solution particulière y0 = -b/a ?Le premier point est de trouver une solution particulière à l'équation globale : y'=ay+b. Cette solution particulière est trouvée à partir d'une fonction constante dont la dérivée est nulle. Ainsi on a 0=ay0+b d'où la solution y0=−ba.
Aussi, pourquoi parler de solution particulière, mais pas de solution générale ?
Merci de votre temps !
Bonne nuit !
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Re: Equa diff demo solutions
Bonjour,
Tu as raison, la forme générale des solutions est bien \(y(x)=k\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\).
Une solution particulière est bien \(y_0=-\dfrac{b}{a}\).
Une solution particulière est recherchée parmi les fonctions "simples" donc on regarde s'il existe une fonction constante qui serait solutions de cette équations différentielle. On pose donc \(\varphi(x)=k\), avec \(k\) réel fixé.
On a alors les équivalences : \(\varphi\) est solution de l'équation \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi'(x)=a\varphi(x)+b\) \(\Longleftrightarrow\) \(0=a\varphi(x)+b\) \(\Longleftrightarrow\) \(ak+b=0\) \(\Longleftrightarrow\)\(k=-\dfrac{b}{a}\)
Donc on a bien la forme évoquée dans le message.
La solution générale va ensuite être recherchée sous la forme de la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière.
En effet on peut prouver que \(f+\dfrac{b}{a}\) est une solution de l'équation si et seulement si \(f\) est solution de l'équation homogène.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Tu as raison, la forme générale des solutions est bien \(y(x)=k\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\).
Une solution particulière est bien \(y_0=-\dfrac{b}{a}\).
Une solution particulière est recherchée parmi les fonctions "simples" donc on regarde s'il existe une fonction constante qui serait solutions de cette équations différentielle. On pose donc \(\varphi(x)=k\), avec \(k\) réel fixé.
On a alors les équivalences : \(\varphi\) est solution de l'équation \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi'(x)=a\varphi(x)+b\) \(\Longleftrightarrow\) \(0=a\varphi(x)+b\) \(\Longleftrightarrow\) \(ak+b=0\) \(\Longleftrightarrow\)\(k=-\dfrac{b}{a}\)
Donc on a bien la forme évoquée dans le message.
La solution générale va ensuite être recherchée sous la forme de la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière.
En effet on peut prouver que \(f+\dfrac{b}{a}\) est une solution de l'équation si et seulement si \(f\) est solution de l'équation homogène.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Re: Equa diff demo solutions
Bonjour SOS 21, je suis content de voir "revoir".
Merci à vous deux, j'ai compris, c'est clair !
A bientot !
Merci à vous deux, j'ai compris, c'est clair !
A bientot !
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Equa diff demo solutions
Bonjour,
c'est plutôt bon signe pour nous si les élèves/étudiants reviennent sur le forum.
Tant mieux si nos explications ont permis d'éclaircir ta vision des équations différentielles.
Bonne continuation
c'est plutôt bon signe pour nous si les élèves/étudiants reviennent sur le forum.
Tant mieux si nos explications ont permis d'éclaircir ta vision des équations différentielles.
Bonne continuation