Equa diff demo solutions

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TerminaleS+3 (Billy)

Equa diff demo solutions

Message par TerminaleS+3 (Billy) » lun. 26 sept. 2022 13:18

Bonjour,

Je cherche à démontrer la solution de l'équation différentielle dy/dt = ay+b.
J'ai trouvé la démonstration (voir PJ svp). La première partie prouve l'existence de la solution. En effet, en dérivant, nous retrouvons bien quelque chose de la forme ay+b.
Cependant, je ne comprends pas du tout la deuxième partie. Est ce qu'elle prouve l'unicité de la solution ? Je n'ai pas leur raisonnement. Pouvez vous me l'expliquer sil vous plait ?

Merci beaucoup de votre attention !
SoS-Math(7)
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Re: Equa diff demo solutions

Message par SoS-Math(7) » lun. 26 sept. 2022 13:28

Bonjour Billy

Il m'est difficile de répondre à ta question car je n'ai pas ta pièce jointe...
J'attends ta réponse.
TerminaleS+3 (Billy)

Re: Equa diff demo solutions

Message par TerminaleS+3 (Billy) » lun. 26 sept. 2022 13:43

Oh, pardon SOS 7

Je vous l'envoie de suite
EDO non homogene.png
SoS-Math(7)
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Re: Equa diff demo solutions

Message par SoS-Math(7) » lun. 26 sept. 2022 14:46

Bonsoir,

En fait ici la démonstration proposée est une démonstration par double implication.
Dans un premier temps, on montre l'implication : Si \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\) alors \(y\) est solution de \(y'=ay+b\). Tu l'as bien comprise.

Puis on démontre l'autre implication : si \(y(x)\) est solution de \(y'=ay+b\) alors \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\). c'est là que tu es un peu moins à l'aise...
Pour ce faire on essaie de se ramener à une équation différentielle dont on connait l'ensemble des solutions : \(y'=ay\) (les solutions sont \(y(x)=k e^{ax}\)). On dit que c'est l'équation homogène.
L'idée est de trouver une solution particulière de notre équation générale : \(y'=ay+b\) ici \(y_0=\frac{-b}{a}\).
Ensuite on écrit les deux équations dans un système et on procède à une soustraction membre à membre pour retrouver l'équation homogène dont on connait la forme : \(y-y_0=k e^{ax} \) et \(y_0=\frac{-b}{a}\) ce qui équivaut à \(y(x)=k e^{ax}-\frac{b}{a}\).
J'espère que c'est plus clair.
A bientôt
Terminal S+3 Billy

Re: Equa diff demo solutions

Message par Terminal S+3 Billy » lun. 26 sept. 2022 21:55

Merci de votre réponse ! C'est globalement plus clair ! mais il me reste quelques questions, quelques point que je ne saisis pas
Puis on démontre l'autre implication : si y(x) est solution de y′=ay+b alors y(x)=keax−ba. c'est là que tu es un peu moins à l'aise...
Ah je vois, nous supposons que y(x) est une solution, et si elle existe, nous montrons qu'elle sera de la forme ke^ax-(b/a).
Nous avions procédé de la même façon pour démontrer la solution de l'équation différentielle ordinaire homogène (dans une autre démo)
Pour ce faire on essaie de se ramener à une équation différentielle dont on connait l'ensemble des solutions : y′=ay (les solutions sont y(x)=keax). On dit que c'est l'équation homogène.
J'ai du mal à comprendre et à voir, à quel moment, dans mon fichier, nous avons fait appel à une équation homogène. Est ce qu'elle apparait à la ligne "par soustraction terme à terme... (y-y0)' = ... a(y-y0)" ? Nous avons une forme dérivée = constante*fonction

Aussi, je n'ai pas compris la phrase dans la démo de ma pièce jointe qui dit que "réciproquement y0 = -b/a, est solution car ay0+b = -b+b=0=y'0"...
Solution de quoi...?

Je n'ai aussi pas compris la conclusion : comment, en disant que y-y0 vérifie l'équation homogène, on en arrive à la conclusion que la solution de notre équa diff non homogène est de forme ke^ax-(b/a)

Merci beaucoup de votre patience !
SoS-Math(7)
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Re: Equa diff demo solutions

Message par SoS-Math(7) » mar. 27 sept. 2022 10:46

Bonjour Billy

Tes remarques, questions me laissent à penser que tu as bien avancé dans cette démonstration.

Je vais partir du plus simple...
Aussi, je n'ai pas compris la phrase dans la démo de ma pièce jointe qui dit que "réciproquement y0 = -b/a, est solution car ay0+b = -b+b=0=y'0"...
Solution de quoi...?
Le "réciproquement" est à mettre à part, ici il permet d'identifier que l'on entre dans la démonstration de la nouvelle implication :
si \(y(x)\) est solution de \(y′=ay+b \) alors \( y(x)=ke^{ax}−ba\)

Le premier point est de trouver une solution particulière à l'équation globale : \(y′=ay+b\). Cette solution particulière est trouvée à partir d'une fonction constante dont la dérivée est nulle. Ainsi on a \(0=ay_0 +b\) d'où la solution \(y_0=\frac{-b}{a}\).
J'ai du mal à comprendre et à voir, à quel moment, dans mon fichier, nous avons fait appel à une équation homogène. Est ce qu'elle apparait à la ligne "par soustraction terme à terme... (y-y0)' = ... a(y-y0)" ? Nous avons une forme dérivée = constante*fonction
C'est exactement ça, l'équation homogène est
forme dérivée = constante*fonction
Vous avez déjà vu ce cas et montré que les solutions sont les fonctions de la forme \(ke^{ax}\).
Dans le système, par soustractions membre à membre, tu obtiens \((y-y_0)'=a(y-y_0)\), c'est à dire
forme dérivée = constante*fonction
Ainsi tu peux en déduire que les solutions de l'équation sont de la forme \(y-y_0=ke^{ax} \iff y-\frac{-b}{a}=ke^{ax} \iff y=ke^{ax} -\frac{b}{a}\).

Bonne continuation.
Terminal S+3 Billy

Re: Equa diff demo solutions

Message par Terminal S+3 Billy » mar. 27 sept. 2022 21:46

Bonjour SOS 7,

Merci de votre réponse détaillée. Tout est (presque) clair ! J'ai mieux compris le raisonnement !
Les remarques, questions me laissent à penser que tu as bien avancé dans cette démonstration.
Oui, j'ai relu votre explication et la démonstration avec attention hier soir, merci de vos encouragements.
Le "réciproquement" est à mettre à part, ici il permet d'identifier que l'on entre dans la démonstration de la nouvelle implication :
si y(x) est solution de y'=ay+b alors y(x)=keax−ba
pourquoi y(x) = ke^(ax)-ba ? ce ne serait pas -b/ a ? ou alors, je n'ai pas saisi quelque chose...
Le premier point est de trouver une solution particulière à l'équation globale : y'=ay+b. Cette solution particulière est trouvée à partir d'une fonction constante dont la dérivée est nulle. Ainsi on a 0=ay0+b d'où la solution y0=−ba.
Comment trouve t'on cette solution particulière y0 = -b/a ?
Aussi, pourquoi parler de solution particulière, mais pas de solution générale ?

Merci de votre temps !
Bonne nuit !
sos-math(21)
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Re: Equa diff demo solutions

Message par sos-math(21) » mar. 27 sept. 2022 22:24

Bonjour,
Tu as raison, la forme générale des solutions est bien \(y(x)=k\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\).
Une solution particulière est bien \(y_0=-\dfrac{b}{a}\).
Une solution particulière est recherchée parmi les fonctions "simples" donc on regarde s'il existe une fonction constante qui serait solutions de cette équations différentielle. On pose donc \(\varphi(x)=k\), avec \(k\) réel fixé.
On a alors les équivalences : \(\varphi\) est solution de l'équation \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi'(x)=a\varphi(x)+b\) \(\Longleftrightarrow\) \(0=a\varphi(x)+b\) \(\Longleftrightarrow\) \(ak+b=0\) \(\Longleftrightarrow\)\(k=-\dfrac{b}{a}\)
Donc on a bien la forme évoquée dans le message.
La solution générale va ensuite être recherchée sous la forme de la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière.
En effet on peut prouver que \(f+\dfrac{b}{a}\) est une solution de l'équation si et seulement si \(f\) est solution de l'équation homogène.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
TerminaleS+3 (Billy)

Re: Equa diff demo solutions

Message par TerminaleS+3 (Billy) » mer. 28 sept. 2022 21:18

Bonjour SOS 21, je suis content de voir "revoir".

Merci à vous deux, j'ai compris, c'est clair !
A bientot !
sos-math(21)
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Re: Equa diff demo solutions

Message par sos-math(21) » mer. 28 sept. 2022 21:26

Bonjour,
c'est plutôt bon signe pour nous si les élèves/étudiants reviennent sur le forum.
Tant mieux si nos explications ont permis d'éclaircir ta vision des équations différentielles.
Bonne continuation
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