Raisonnement par récurrence
Posté : lun. 26 sept. 2022 08:35
Bonjour,
Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre. Déjà je ne comprends pas comment initialiser la récurrence alors prouver par hérédité encore moins.
On considère la suite (\(u_{n}\)) définie sur \(\mathbb {N}\) par \(u_{0}=3\) et \(u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}\) pour tout \({n} \in \mathbb {N}\).
Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite (\(u_{n}\)) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Je ne vois pas trop comment trouver la suite avec une démonstration.
\(u_{0} = 3\)
\(u_{1} = 6\)
\(u_{2} = 12\)
Au vu des résultats des termes ci-dessus, j'arrive à conjecturer que :
\(u_n = 3 \times 2^n\)
\(u_{n+1} = 2u_n\)
Mais bon, je trouve que le raisonnement est fait au "pif" et c'est ce qui m'embête le plus. Si la suite était moins évidente, je ne vois pas trop comment je pourrais la trouver.
Soit \({n} \in \mathbb {N}\), notons \( P({n}) "u_{n}=3 \times 2^n"\)
Initialisation :
\(u_{0} = 3 \times 2^0 = 3\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité :
Soit \({n} \in \mathbb {N}\), supposons que \(P({n}) "u_{n}=3 \times 2^n"\) soit vraie (HR).
Montrons alors que \(P({n+1})\) est vraie ie \(P({n+1}) "u_{n}=3 \times 2^{n+1}"\) soit vraie.
\(u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}\)
\(\Leftrightarrow 9 \times 2^n - 3 \times 2^n\) car \(u_n=3 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 3 \times 2^n - 3 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2^n (3 - 1)\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2^{n+1}\)
Donc \(P(n)\) est vrai au rang \({n+1}\)
Conclusion : on vient de prouver par récurrence que \( \forall {n} \in \mathbb {N}\), \(u_n\) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme \(u_0 = 3\)
Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre. Déjà je ne comprends pas comment initialiser la récurrence alors prouver par hérédité encore moins.
On considère la suite (\(u_{n}\)) définie sur \(\mathbb {N}\) par \(u_{0}=3\) et \(u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}\) pour tout \({n} \in \mathbb {N}\).
Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite (\(u_{n}\)) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Je ne vois pas trop comment trouver la suite avec une démonstration.
\(u_{0} = 3\)
\(u_{1} = 6\)
\(u_{2} = 12\)
Au vu des résultats des termes ci-dessus, j'arrive à conjecturer que :
\(u_n = 3 \times 2^n\)
\(u_{n+1} = 2u_n\)
Mais bon, je trouve que le raisonnement est fait au "pif" et c'est ce qui m'embête le plus. Si la suite était moins évidente, je ne vois pas trop comment je pourrais la trouver.
Soit \({n} \in \mathbb {N}\), notons \( P({n}) "u_{n}=3 \times 2^n"\)
Initialisation :
\(u_{0} = 3 \times 2^0 = 3\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité :
Soit \({n} \in \mathbb {N}\), supposons que \(P({n}) "u_{n}=3 \times 2^n"\) soit vraie (HR).
Montrons alors que \(P({n+1})\) est vraie ie \(P({n+1}) "u_{n}=3 \times 2^{n+1}"\) soit vraie.
\(u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}\)
\(\Leftrightarrow 9 \times 2^n - 3 \times 2^n\) car \(u_n=3 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 3 \times 2^n - 3 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2^n (3 - 1)\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2^{n+1}\)
Donc \(P(n)\) est vrai au rang \({n+1}\)
Conclusion : on vient de prouver par récurrence que \( \forall {n} \in \mathbb {N}\), \(u_n\) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme \(u_0 = 3\)