Raisonnement par récurrence

[Sylvain]

Bonjour,

Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre. Déjà je ne comprends pas comment initialiser la récurrence alors prouver par hérédité encore moins.

On considère la suite (\(u_{n}\)) définie sur \(\mathbb {N}\) par \(u_{0}=3\) et \(u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}\) pour tout \({n} \in \mathbb {N}\).

Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que la suite (\(u_{n}\)) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Je ne vois pas trop comment trouver la suite avec une démonstration.

\(u_{0} = 3\)
\(u_{1} = 6\)
\(u_{2} = 12\)

Au vu des résultats des termes ci-dessus, j'arrive à conjecturer que :

\(u_n = 3 \times 2^n\)
\(u_{n+1} = 2u_n\)

Mais bon, je trouve que le raisonnement est fait au "pif" et c'est ce qui m'embête le plus. Si la suite était moins évidente, je ne vois pas trop comment je pourrais la trouver.

Soit \({n} \in \mathbb {N}\), notons \( P({n}) "u_{n}=3 \times 2^n"\)

Initialisation :
\(u_{0} = 3 \times 2^0 = 3\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité :
Soit \({n} \in \mathbb {N}\), supposons que \(P({n}) "u_{n}=3 \times 2^n"\) soit vraie (HR).
Montrons alors que \(P({n+1})\) est vraie ie \(P({n+1}) "u_{n}=3 \times 2^{n+1}"\) soit vraie.

\(u_{n+1}=9 \times 2^n - u_{n}\)
\(\Leftrightarrow 9 \times 2^n - 3 \times 2^n\) car \(u_n=3 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 3 \times 2^n - 3 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2^n (3 - 1)\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2 \times 2^n\)
\(\Leftrightarrow 3 \times 2^{n+1}\)

Donc \(P(n)\) est vrai au rang \({n+1}\)

Conclusion : on vient de prouver par récurrence que \( \forall {n} \in \mathbb {N}\), \(u_n\) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme \(u_0 = 3\)

[SoS-Math(7)]

Bonjour Sylvain

Ton travail est juste. La conclusion mérite d'être un peu revue mais globalement c'est cela.
Conclusion, ce que tu viens de montrer que ta propriété est initialisée en n=0 et qu'elle est héréditaire donc que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=3\times 2^n\). Il faut ensuite conclure que tu reconnais l'expression explicite de la suite géométrique de premier terme \(u_0=3\) et de raison \(q=2\).

Pour répondre à ta question, ta conjecture est ici simple je te l'accorde mais, implicitement, il y a de la reconnaissance et du lien avec la question posée... Peut-être pas si simple finalement...
Dans le cadre d'un exercice plus "difficile", attends d'y être confronté. C'est le principe de l'apprentissage, tu auras d'autres acquis, d'autres aptitudes pour y faire face. Fais toi confiance, tu sembles avoir bien compris le principe de ce type de démonstration ainsi que la rédaction attendue ; c'est de très bon augure !

Bonne continuation.

[Sylvain]

Bonjour Sylvain

Ton travail est juste. La conclusion mérite d'être un peu revue mais globalement c'est cela.
Conclusion, ce que tu viens de montrer que ta propriété est initialisée en n=0 et qu'elle est héréditaire donc que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=3\times 2^n\). Il faut ensuite conclure que tu reconnais l'expression explicite de la suite géométrique de premier terme \(u_0=3\) et de raison \(q=2\).

Pour répondre à ta question, ta conjecture est ici simple je te l'accorde mais, implicitement, il y a de la reconnaissance et du lien avec la question posée... Peut-être pas si simple finalement...
Dans le cadre d'un exercice plus "difficile", attends d'y être confronté. C'est le principe de l'apprentissage, tu auras d'autres acquis, d'autres aptitudes pour y faire face. Fais toi confiance, tu sembles avoir bien compris le principe de ce type de démonstration ainsi que la rédaction attendue ; c'est de très bon augure !

Bonne continuation.

Merci infiniment pour votre réponse c'est trop clair.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tant mieux si notre réponse a levé tes incompréhensions.
À bientôt sur sos-math