Raisonnement par récurrence
Posté : ven. 23 sept. 2022 21:21
Bonjour,
Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que j'ai tenté de résoudre mais je ne suis pas certain de correctement procéder car je trouve ma démonstration un peu bancale...
On considère la suite (\(u_{n}\)) définie sur \(\mathbb {N}\) par \(u_{0}=-3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\) pour tout \({n} \in \mathbb {N}\).
Démontrer que pour tout \(\mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2\).
Par récurrence :
initialisation:
\(u_{1}=\sqrt{\frac 3 2}\)
L'égalité à démontrer est donc vraie pour \({n}=1\).
Hérédité:
Soit \({n} \in \mathbb {N^*}\), supposons que \(0 \leq u_{n} \leq 2\) (HR) on a alors :
\(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}=\sqrt{\frac{6 + u_{n}}2}\)
or \(0 \leq u_{n} \leq 2\) \(\Leftrightarrow\) \(3 \leq \frac{6 + u_{n}} 2 \leq 4\)
Donc \(0 \leq \sqrt{\frac{6 + u_{n}}2} \leq 2\)
Conclusion \(\forall {n} \in \mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2\)
par avance, merci.
Sylvain
Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que j'ai tenté de résoudre mais je ne suis pas certain de correctement procéder car je trouve ma démonstration un peu bancale...
On considère la suite (\(u_{n}\)) définie sur \(\mathbb {N}\) par \(u_{0}=-3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\) pour tout \({n} \in \mathbb {N}\).
Démontrer que pour tout \(\mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2\).
Par récurrence :
initialisation:
\(u_{1}=\sqrt{\frac 3 2}\)
L'égalité à démontrer est donc vraie pour \({n}=1\).
Hérédité:
Soit \({n} \in \mathbb {N^*}\), supposons que \(0 \leq u_{n} \leq 2\) (HR) on a alors :
\(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}=\sqrt{\frac{6 + u_{n}}2}\)
or \(0 \leq u_{n} \leq 2\) \(\Leftrightarrow\) \(3 \leq \frac{6 + u_{n}} 2 \leq 4\)
Donc \(0 \leq \sqrt{\frac{6 + u_{n}}2} \leq 2\)
Conclusion \(\forall {n} \in \mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2\)
par avance, merci.
Sylvain