Raisonnement par récurrence

[Sylvain]

Bonjour,

Je vous donne ci-dessous l'énonce de l'exercice que j'ai tenté de résoudre mais je ne suis pas certain de correctement procéder car je trouve ma démonstration un peu bancale...

On considère la suite (\(u_{n}\)) définie sur \(\mathbb {N}\) par \(u_{0}=-3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\) pour tout \({n} \in \mathbb {N}\).

Démontrer que pour tout \(\mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2\).

Par récurrence :

initialisation:
\(u_{1}=\sqrt{\frac 3 2}\)
L'égalité à démontrer est donc vraie pour \({n}=1\).

Hérédité:
Soit \({n} \in \mathbb {N^*}\), supposons que \(0 \leq u_{n} \leq 2\) (HR) on a alors :
\(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(u_{n+1}=\sqrt{\frac{6 + u_{n}}2}\)
or \(0 \leq u_{n} \leq 2\) \(\Leftrightarrow\) \(3 \leq \frac{6 + u_{n}} 2 \leq 4\)
Donc \(0 \leq \sqrt{\frac{6 + u_{n}}2} \leq 2\)

Conclusion \(\forall {n} \in \mathbb {N^*}, 0 \leq u_{n} \leq 2\)

par avance, merci.

Sylvain

[SoS-Math(33)]

Bonjour Sylvain,
pour l'hérédité tu peux faire ceci :
\(0 \leq u_{n} \leq 2\)
\(0 \leq\dfrac{ u_{n}}{2} \leq 1\)
\(3\leq3+\dfrac{ u_{n}}{2} \leq 4\)
la fonction racine carrée étant continue et strictement croissante on obtient
\(\sqrt{3}\leq\sqrt{3+\dfrac{ u_{n}}{2}} \leq \sqrt{4}\)
d'où \(0< 3 \leq u_{n+1} \leq 2\)

c'est plus rigoureux.
SoS-math

[sos-math(21)]

Bonjour,
est-ce que l'on parle de la même suite ?
Si on parle de la suite définie dans le sujet :
\(u_0=-3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3+\frac{u_{n}}2}\)
en prenant les termes de rang 1, tu as pour la suite définie dans le sujet : \(u_1=\sqrt{3+\frac{-3}2}=\sqrt{1,5}\approx 1,22\)
et pour l'autre dont tu parles (en supposant \(u_0=-3\) car tu ne nous dis rien sur le premier terme) : \(u_1=0,1u_0+0,2=-0,1\)
donc ces deux suites sont différentes.
Merci de préciser ton énoncé et nous créerons alors un nouveau sujet.
À bientôt