Bonsoir, pourrais-je avoir de l'aide sur DM que j'ai du mal a commencer s'il vous plaît?
En vous remerciant d'avance pour votre aide, car ça fais 3 jours que j'essaie de comprendre si je dois employer la récurrence ou pas , je suis perdue.
Un groupe de presse édite un magazine qu’il propose en abonnement. Jusqu’en 2010,
ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés du
magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier. Une étude a montré
que, chaque année, certains abonnés changent d’avis : 10 % des abonnés à la version
papier passent à la version numérique et 6 % des abonnés à la version numérique passent
à la version papier.
On admet que le nombre global d’abonnés reste constant dans le temps.
On note an la proportion d’abonnés ayant choisi la version papier en 2010 + n et bn la
proportion d’abonnés ayant choisi la version numérique en 2010 + n.
1) Justifier que a0 = 1, b0 = 0 et pour tout n ∈ N, an+1 = 0, 9an + 0, 06bn.
2) En déduire que pour tout n ∈ N, an+1 = 0, 84an + 0, 06.
3) Soit (cn) la suite définie par cn = an − 0, 375.
a) Montrer que la suite (cn) est géométrique.
b) En déduire l’expression de cn puis de an et bn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (an).
4) À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la proportion d’abonnés
à la version papier devient inférieure à la proportion d’abonnés à la version numérique
DM DE MATHS
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aly
-
sos-math(21)
- Messages : 10354
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: DM DE MATHS
Bonjour,
La première question est une traduction de l'énoncé et ne requiert pas de démonstration par récurrence.
Si tu notes \(a_n\) la proportion d'abonnés au format papier et \(b_n\) la proportion d'abonnés au format numérique, pour une année donnée \(2010+n\), alors on a toujours \(a_n+b_n=1\) car les deux catégories réunies représentent le total des abonnés \(100\%\) qui s'écrit 1 en écriture décimale.
Au début, en 2010, lorsque \(n=0\), il n'y a que le format papier donc \(a_0=1\) et avec la relation précédente : \(b_0=1-a_0=0\).
Si on se place ensuite à une année \(2010+n\) donnée, alors l'année suivante la catégorie papier \(a_n\) perd \(10\%\) d'abonnés donc il reste \(90\%\) de ceux de l'année d'avant donc \(0,9a_n\).
Elle reçoit ensuite \(6\%\) de la catégorie \(b_n\) donc elle reçoit en plus \(0,06b_n\).
On a donc bien \(a_{n+1}=0,9a_n+0,06b_n\).
Avec \(a_n+b_n=1\), on obtient que \(b_n=1-a_n\) et on réinjecte cette expression dans l'expression de \(a_{n+1}\) : \(a_{n+1}=0,9a_n+0,06(1-a_n)=0,9a_n+0,06-0,06a_n=0,84a_n+0,06\).
Je te laisse faire la suite.
Bonne continuation
La première question est une traduction de l'énoncé et ne requiert pas de démonstration par récurrence.
Si tu notes \(a_n\) la proportion d'abonnés au format papier et \(b_n\) la proportion d'abonnés au format numérique, pour une année donnée \(2010+n\), alors on a toujours \(a_n+b_n=1\) car les deux catégories réunies représentent le total des abonnés \(100\%\) qui s'écrit 1 en écriture décimale.
Au début, en 2010, lorsque \(n=0\), il n'y a que le format papier donc \(a_0=1\) et avec la relation précédente : \(b_0=1-a_0=0\).
Si on se place ensuite à une année \(2010+n\) donnée, alors l'année suivante la catégorie papier \(a_n\) perd \(10\%\) d'abonnés donc il reste \(90\%\) de ceux de l'année d'avant donc \(0,9a_n\).
Elle reçoit ensuite \(6\%\) de la catégorie \(b_n\) donc elle reçoit en plus \(0,06b_n\).
On a donc bien \(a_{n+1}=0,9a_n+0,06b_n\).
Avec \(a_n+b_n=1\), on obtient que \(b_n=1-a_n\) et on réinjecte cette expression dans l'expression de \(a_{n+1}\) : \(a_{n+1}=0,9a_n+0,06(1-a_n)=0,9a_n+0,06-0,06a_n=0,84a_n+0,06\).
Je te laisse faire la suite.
Bonne continuation