complexes

[Cédric]

Bonjour,

J'aurais 2 questions :

1)si on parle de fonction de R dans R, je vois ce que donne la représentation graphique d'une telle fonction.
Mais si l'on parle de fonction complexe de C dans C, comment représenter une fonction complexe ?
Est-ce possible ?

2) Comment fait-on pour comparer 2 nombres complexes ?

Merci.
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
1) comme tu l'as souligné, on part d'un espace à deux dimensions (l'ensemble des nombres complexes peut-être représenté comme un plan) vers un espace à deux dimensions, donc il faudrait un objet à 4 dimensions pour le représenter, ce qui complique les choses.
Il n'y a donc pas de représentation globale visualisable pour de telles fonctions. On peut éventuellement avoir des représentations partielles en faisant des coupes ou des tranches. Tu peux lire la réponse de mathématiciens à ce sujet : https://fr.quora.com/Comment-repr%C3%A9 ... -complexes
2)Il n'existe pas de relation d'ordre total sur \(\mathbb{C}\) compatible avec la structure de corps, comme il peut y en avoir une sur \(\mathbb{R}\).
On peut ordonner les complexes, il existe des relations d'ordre compatibles avec l'addition mais c'est surtout la multiplication qui coince avec le problème de \(\text{i}^2=-1\).
Une relation d'ordre avec laquelle on ne peut pas faire d'opérations ne sert plus à grand chose.
Bonne continuation

[Cédric]

Merci beaucoup pour vos réponses !
Il y a juste quelque chose que je ne comprends pas, vous dites : "on peut ordonner les nombres complexes" mais pas avec une relation d'ordre total sur C mais juste une relation d'ordre "partielle" avec l'addition. Je ne comprends pas cette relation d'ordre "partielle" .
Pourriez-vous me donner un exemple ?
Merci de m'éclairer !
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux essayer de vérifier que la relation définie sur \(\mathbb{C}\) par
\(x+\text{i}y < x'+\text{i}y'\Longleftrightarrow \left(x<x' \, \text{ou bien }\, x=x'\, \text{et}\, y<y'\right)\)
Cette relation est bien une relation d'ordre total (tu peux le vérifier), elle est compatible avec l'addition mais pas avec la multiplication :
\(z_1=1+\text{i}\) est positif au sens de la relation définie plus haut : \(1+\text{i}>0+0\text{i}\) car \(1>0\).
\(z_2=2+5\text{i}\) est aussi positif car \(2>0\).
Or \(z_1z_2=-3+7\text{i}\) est négatif au sens de la relation définie plus haut : \(-3<0\). On voit bien l'incompatibilité de cette relation d'ordre avec la multiplication.
J'espère avoir répondu à tes questions

[Cédric]

Bonsoir,
oui, je comprends votre exemple, merci beaucoup !
C.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tant mieux si nos réponses ont satisfait ta curiosité.
À bientôt sur sos math